Σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x(x+y)+y^2 +xy+xz+yz=4}$

$\displaystyle{y(y+z)+z^2 +xy+xz+yz=20}$

$\displaystyle{z(z+x)+x^2 +xy+xz+yz=8}$

(Το αφήνουμε για μαθητές μέχρι 13-5-22)

Henri van Aubel · #2

Ωραίο συνάδελφε!

Βάζω μία σκέψη.

Έχουμε τις σχέσεις

$\left ( x+y \right )\left ( x+y+z \right )=4$

$\left ( y+z \right )\left ( x+y+z \right )=20$

$\left ( x+z \right )\left ( x+y+z \right )=8$

Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε $2\left ( x+y+z \right )^{2}=4+20+8\Leftrightarrow \left ( x+y+z \right )^{2}=16$

Αν x+y+z=-4,

τότε

.

Οπότε βρίσκουμε πως πρέπει $\boxed{\left ( x,y,z \right )=\left ( 1,-2,-3 \right )}$

Αν x+y+z=4,

τότε

.

Οπότε βρίσκουμε πως είναι $\boxed{\left ( x,y,z \right )=\left ( -1,2,3 \right )}$

Συνεπώς, προκύπτει ότι $\boxed{\left ( x,y,z \right )=\left ( -1,2,3 \right ),\left ( 1,-2,-3 \right )}$

∫ot.T. · #3

Προσπάθησα να βρω έναν άλλο τρόπο επίλυσης του συστήματος, αλλά γίνεται υπερβολικό για Γ' γυμνασίου και απαιτεί πολλές πράξεις. Θεωρώ ότι αυτός ο τρόπος είναι ο μόνος βέλτιστος.

#4

Από τις σχέσεις που έχει γράψει ο Κώστας είναι φανερό ότι $x+y, y+z, x+z, x+y+z\ne 0.$

Διαιρώ κατά μέλη τις δύο πρώτες και στη συνέχεια την 1η με την 3η και έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{x + y}}{{y + z}} = \frac{1}{5} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{x + y}}{{x + z}} = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} z = 5x + 4y \hfill \\ z = x + 2y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - 2x \hfill \\ z = - 3x \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Πηγαίνω τώρα και αντικαθιστώ στην $\displaystyle (x + y)(x + y + z) = 4$ και παίρνω $\displaystyle - x( - 4x) = 4 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Άρα οι λύσεις είναι $\boxed{(x,y,z)=(1,-2,-3), (-1, 2,3)}$

miliotis ektoras · #5

Μια αλλη λυση επισης ειναι η εξης
(x+y)(z+x+y)= 4 , (y+z)(z+x+y) - 16= 4 ,(z+x)(z+x+y) -4= 4
(x+y)(z+x+y)= (y+z)(z+x+y) - 16=(z+x)(z+x+y) -4 ,θετουμε α=x+z+y
a(x+y)=a(x+z) - 4 => ay=az -4 =>y=z - 4/a
a(x+y)=a(y+z) -16 => ax=az -16 => a(z-x)=16 (1)
ay=ax +12 ,ξερουμε οτι a(x+y)=4 αρα a(x+z -4/a)=4 και ax+az=8 (2) ,υστερα απο συστημα σχεσης (1) κ (2) προκυπτει ax=12 ,ax= -4
Ευκολα βρισκεται οτι ay=8,a=8/a +12/a -4/a αρα a= =4 ή a=-4
Υστερα με απλουστατες αντικαταστασεις προκυπτουν
(x,y,z)=(-1,2,3),(1,-2,-3)

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση