Διχοτόμος-διάμεσος-ύψος

#1

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC

με $\widehat A\le 45^\circ.$ Να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση

η διχοτόμος AD,

η διάμεσος

και το ύψος

να συντρέχουν.

Μπορεί να έχει τεθεί ξανά. Ας την αφήσουμε όμως χωρίς παραπομπές για
όσους την βλέπουν για πρώτη φορά.

Henri van Aubel · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 26, 2023 11:17 am
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με $\widehat A\le 45^\circ.$ Να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση

η διχοτόμος η διάμεσος και το ύψος να συντρέχουν.

Μπορεί να έχει τεθεί ξανά. Ας την αφήσουμε όμως χωρίς παραπομπές για
όσους την βλέπουν για πρώτη φορά.

Γειά σου Γιώργο!

Από Θ. Ceva $\displaystyle \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CM}{MA}\cdot \frac{AE}{BE}=1^{CM=MA}\Longleftrightarrow \frac{AE}{BE}=\frac{DC}{BD}.$

Ως γνωστό $\displaystyle \frac{AE}{BE}=\frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{c^{2}-b^{2}+a^{2}}$ και από Θ. διχοτόμου $\displaystyle \frac{DC}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}.$

Οπότε πρέπει $\displaystyle \frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{c^{2}-b^{2}+a^{2}}=\frac{b}{c}\Longleftrightarrow \boxed{a^{2}=\frac{c\left ( b^{2}+c^{2} \right )+b\left ( b^{2}-c^{2} \right )}{b+c}}\left ( \ast \right )$

Ομως τότε το τρίγωνο θα είναι σμβλυγωνιο άτοπο .
Σημείωση : Δεν είδα ότι έλεγε οξυγωνιο, στραβομαρα !

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 26, 2023 11:17 am
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με $\widehat A\le 45^\circ.$ Να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση

η διχοτόμος η διάμεσος και το ύψος να συντρέχουν.

Μπορεί να έχει τεθεί ξανά. Ας την αφήσουμε όμως χωρίς παραπομπές για
όσους την βλέπουν για πρώτη φορά.

Αν ισχύει η σύγκλιση αυτή ,από CEVA παίρνουμε $\dfrac{BD}{DC}= \dfrac{BZ}{ZA} \Rightarrow ZD//AC \Rightarrow AZ=ZD$

$\angle A \leq \dfrac{ \pi }{4} \Rightarrow tanA \leq 1 \Rightarrow \dfrac{CZ}{AZ} \leq 1 \Rightarrow \dfrac{CZ}{ZD} \leq 1 \Rightarrow CZ \leq ZD$

Τότε θα ισχύει $\angle ZDC \leq \phi \Rightarrow \angle \pi -C \leq \angle \dfrac{ \pi }{2} -B \Rightarrow C \geq \dfrac{ \pi }{2} +B$

άτοπο αφού το τρίγωνο ABC

είναι οξυγώνιο

: διχοτόμος-διάμεσος-ύψος.png (10.16 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

#5

Δείτε ένα τρόπο για να κατασκευάζουμε τρίγωνα που διχοτόμος διάμεσος και ύψος συντρέχουν αλλά χωρίς τις «σκληρές» προϋποθέσεις:

Οξυγώνιο και ταυτόχρονα η γωνία της κορυφής από την οποία άγεται η διχοτόμος να μην είναι μεγαλύτερη των 45°.

#6

Δείτε Εδώ ένα τρόπο για να κατασκευάζουμε τρίγωνα που διχοτόμος διάμεσος και ύψος συντρέχουν αλλά χωρίς τις «σκληρές» προϋποθέσεις:

Οξυγώνιο και ταυτόχρονα η γωνία της κορυφής από την οποία άγεται η διχοτόμος να μην είναι μεγαλύτερη των 45°.

Διχοτόμος-διάμεσος-ύψος

Διχοτόμος-διάμεσος-ύψος

Re: Διχοτόμος-διάμεσος-ύψος

Re: Διχοτόμος-διάμεσος-ύψος

Re: Διχοτόμος-διάμεσος-ύψος

Re: Διχοτόμος-διάμεσος-ύψος

Re: Διχοτόμος-διάμεσος-ύψος

Μέλη σε σύνδεση