Δύο κύκλοι Euler, δίνουν ορθόκεντρο

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[Doloros]

Δύο κύκλοι Euler, δίνουν ορθόκεντρο .png

Σε τρίγωνο ABC ο κύκλος Euler συμπίπτει με τον κύκλο Euler του

τριγώνου BEC, όπου E είναι ένα σημείο του ύψους AD του τριγώνου

ABC. Να δειχθεί ότι το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Έστω ο κύκλος του στο , το κέντρο του , περνά δε από τα μέσα των .

Ας είναι και το κέντρο του κύκλου . Είναι γνωστό ότι η ακτίνα του είναι διπλάσια της ακτίνας του κύκλου .

Αν λοιπόν το αντιδιαμετρικό του στον κύκλο το τετράπλευρο, είναι παραλληλόγραμμο .

Δύο κύκλοι Euler δίουν ορθόκεντρο_oritzin_2.png (20.78 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές

Το πιο πάνω παραλληλόγραμμο θα μείνει αναλλοίωτο στον κύκλο του για το , ο οποίος διέρχεται αναγκαστικά από τα σημεία : .

Το δε θα είναι το ένα και μόνο μέσο του τμήματος που ανήκει στον .

Έτσι , δηλαδή το είναι το ορθόκεντρο του .

[george visvikis]

Δύο κύκλοι Euler, δίνουν ορθόκεντρο .png

Σε τρίγωνο ABC ο κύκλος Euler συμπίπτει με τον κύκλο Euler του

τριγώνου BEC, όπου E είναι ένα σημείο του ύψους AD του τριγώνου

ABC. Να δειχθεί ότι το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Αν το ορθόκεντρο είναι γνωστό (θεώρημα Hamilton) ότι τα τρίγωνα έχουν τον ίδιο κύκλο του Euler.

Δύο κύκλοι-ορθόκεντρο.png (16.59 KiB) Προβλήθηκε 971 φορές

Έστω σημείο του ύψους ώστε τα τρίγωνα να έχουν τον ίδιο κύκλο του Euler. Έστω ακόμα

τα μέσα των αντίστοιχα. Τότε τα είναι ομοκυκλικά κι επειδή

θα είναι και συνευθειακά, που είναι άτοπο. Άρα τα σημεία ταυτίζονται και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Δύο κύκλοι Euler, δίνουν ορθόκεντρο .png

Σε τρίγωνο ABC ο κύκλος Euler συμπίπτει με τον κύκλο Euler του

τριγώνου BEC, όπου E είναι ένα σημείο του ύψους AD του τριγώνου

ABC. Να δειχθεί ότι το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Ο κύκλος Euler τριγώνου έχει τη μισή ακτίνα του περίκυκλου του οπότε η ταύτιση των κύκλων Euler των δυο αυτών τριγώνων οδηγεί στην ισότητα των περικυκλων τους άρα στην παραπληρωματικοτητα των γωνιών και με επι του ύψους του τριγώνου προκύπτει οτι αυτο ( μοναδικό σημείο του ύψους ) ειναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο εχει αποδειχτεί

[george visvikis]

Δύο κύκλοι Euler, δίνουν ορθόκεντρο .png

Σε τρίγωνο ABC ο κύκλος Euler συμπίπτει με τον κύκλο Euler του

τριγώνου BEC, όπου E είναι ένα σημείο του ύψους AD του τριγώνου

ABC. Να δειχθεί ότι το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Ο κύκλος Euler τριγώνου έχει τη μισή ακτίνα του περίκυκλου του οπότε η ταύτιση των κύκλων Euler των δυο αυτών τριγώνων οδηγεί στην ισότητα των περικυκλων τους άρα στην παραπληρωματικοτητα των γωνιών και με επι του ύψους του τριγώνου προκύπτει οτι αυτο ( μοναδικό σημείο του ύψους ) ειναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο εχει αποδειχτεί

Ωραίο Στάθη

[Henri van Aubel]

Δύο κύκλοι Euler, δίνουν ορθόκεντρο .png

Σε τρίγωνο ABC ο κύκλος Euler συμπίπτει με τον κύκλο Euler του

τριγώνου BEC, όπου E είναι ένα σημείο του ύψους AD του τριγώνου

ABC. Να δειχθεί ότι το E είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Ο κύκλος Euler τριγώνου έχει τη μισή ακτίνα του περίκυκλου του οπότε η ταύτιση των κύκλων Euler των δυο αυτών τριγώνων οδηγεί στην ισότητα των περικυκλων τους άρα στην παραπληρωματικοτητα των γωνιών και με επι του ύψους του τριγώνου προκύπτει οτι αυτο ( μοναδικό σημείο του ύψους ) ειναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο εχει αποδειχτεί

Αυτό ακριβώς !