Συνέχεια παραγωγισιμότητα αντίστροφης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Με αφορμή το
viewtopic.php?f=52&t=74161

Εστω $\displaystyle g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
συνάρτηση με συνεχή παράγωγο, η οποία δεν μηδενίζεται.

1) Το $\displaystyle I=g(\mathbb{R})$ είναι ανοικτό διάστημα.

2)Υπάρχει μοναδική συνάρτηση $\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb{R}$
ώστε $\displaystyle g(f(x))=x$ για $x\in I$
$\displaystyle f(g(x))=x$ για $x\in \mathbb{R}$

3) Η $\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Το βλέπουμε Λυκειακά.

Αφού η $g^\prime$ είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, θα πρέπει να διατηρεί πρόσημο, έστω θετικό.
Οπότε η

θα είναι γνησίως αύξουσα.

1) Επειδή η

είναι και συνεχής θα πρέπει $I=g(\mathbb{R})=(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x),\lim\limits_{x\to+\infty}g(x))$

2) Η

θα είναι 1-1 επομένως θα ορίζεται η αντίστροφή της $g^{-1}\colon I\to\mathbb{R}$ η οποία θα είναι η ζητούμενη (μοναδική)

η οποία θα είναι επίσης γνησίως αύξουσα

3)
ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Έστω $y_o\in I$ όπου y_o=g(x_o)

με $x_o\in\mathbb{R}$
και έστω $\Delta\colon=[x_o-1,x_o+1]$ για το οποίο έχουμε $g(\Delta)=[g(x_o-1),g(x_o+1)]$
Από τη μονοτονία της

θα πρέπει

Στο $\Delta$ η $g^\prime$ θα λαμβάνει μια ελάχιστη τιμή $m=g^\prime(\xi_o)>0$
οπότε για κάθε $x\in\Delta-\{x_o\}$ θα είναι $\dfrac{g(x)-g(x_o)}{x-x_o}=g^\prime(\xi)\ge m$
οπότε $|g(x)-g(x_o)|\ge m|x-x_o|$ για κάθε $x\in\Delta$

Για κάθε $y \in g ( \Delta )$ έχουμε $f(y)\in\Delta$
οπότε εφαρμόζοντας την προηγούμενη ανισότητα θα έχουμε
$|g(f(y))-g(f(y_o))|\ge m|f(y)-f(y_o)|$
άρα $0\le|f(y)-f(y_o)|\le \dfrac{1}{m}\cdot |y-y_o|$
και από το κριτήριο της παρεμβολής έπεται $\lim\limits_{y\to y_o}f(y)=f(y_o)=x_o$
δηλαδή η συνέχεια της

στο

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
Είναι $g^\prime(x_o)=\lim\limits_{x\to x_o}\dfrac{g(x)-g(x_o)}{x-x_o}>0$
επομένως $\lim\limits_{x\to x_o}\dfrac{x-x_o}{g(x)-g(x_o)}=\dfrac{1}{g^\prime(x_o)}$
οπότε $\lim\limits_{x\to x_o}\dfrac{f(g(x))-f(g(x_o))}{g(x)-g(x_o)}=\dfrac{1}{g^\prime(f(y_o))}$

Επειδή κοντά στο y_o

ισχύει $f(y)\ne x_o$ εφαρμόζοντας το θεώρημα ορίου σύνθεσης λαμβάνουμε
$\lim\limits_{y\to y_o}\dfrac{f(g(f(y)))-f(g(f(y_o)))}{g(f(y))-g(f(y_o))}=\dfrac{1}{g^\prime(f(y_o))}$
επομένως $\lim\limits_{y\to y_o}\dfrac{f(y)-f(y_o)}{y-y_o}=\dfrac{1}{g^\prime(f(y_o))}$ $\blacksquare$

Συνέχεια παραγωγισιμότητα αντίστροφης

Συνέχεια παραγωγισιμότητα αντίστροφης

Re: Συνέχεια παραγωγισιμότητα αντίστροφης

Μέλη σε σύνδεση