Ούτε ένα τέταρτο

KARKAR · #1

: Ούτε ένα τέταρτο.png (13.87 KiB) Προβλήθηκε 679 φορές

Από τυχόν σημείο

της πλευράς

, τριγώνου ABC

, φέρω : $DE\parallel AC$ και : $DZ\parallel BC$ .

Η

τέμνει το τμήμα

στο σημείο

και η

το

στο

. Δείξτε ότι : $ST\leq \dfrac{AB}{4}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 21, 2023 7:01 pm Ούτε ένα τέταρτο.pngΑπό τυχόν σημείο της πλευράς , τριγώνου , φέρω : $DE\parallel AC$ και : $DZ\parallel BC$ .

Η τέμνει το τμήμα στο σημείο και η το στο . Δείξτε ότι : $ST\leq \dfrac{AB}{4}$ .

Ισχύει $\dfrac{AS}{SE} = \dfrac{AZ}{ZC}$ κι από θ.κ.δέσμης $\dfrac{AZ}{ZC} = \dfrac{DT}{TE}$ άρα

$\dfrac{AS}{SE} = \dfrac{DT}{TE} \Rightarrow TS//AD$

Είναι $\dfrac{ST}{AD}= \dfrac{ET}{ED}= \dfrac{ET}{ZC} = \dfrac{BE}{BC}= \dfrac{BD}{AB}= \dfrac{AB-AD}{AB}$ άρα

$ST.AB=AD.AB-AD^2 \Rightarrow \dfrac{ST}{AB} = \dfrac{AD}{AB}- (\dfrac{AD}{AB} )^2$

Αρκεί να δείξουμε ότι $\dfrac{AD}{AB}- (\dfrac{AD}{AB} )^2 \leq \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow (\dfrac{2AD}{AB}-1)^2 \geq 0$ αληθής

: Ούτε ένα τέταρτο.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές

#3

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Σάβ Ιούλ 22, 2023 2:24 am
KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 21, 2023 7:01 pm Ούτε ένα τέταρτο.pngΑπό τυχόν σημείο της πλευράς , τριγώνου , φέρω : $DE\parallel AC$ και : $DZ\parallel BC$ .

Η τέμνει το τμήμα στο σημείο και η το στο . Δείξτε ότι : $ST\leq \dfrac{AB}{4}$ .
Ισχύει $\dfrac{AS}{SE} = \dfrac{AZ}{ZC}$ κι από θ.κ.δέσμης $\dfrac{AZ}{ZC} = \dfrac{DT}{TE}$ άρα

$\dfrac{AS}{SE} = \dfrac{DT}{TE} \Rightarrow TS//AD$

Είναι $\dfrac{ST}{AD}= \dfrac{ET}{ED}= \dfrac{ET}{ZC} = \dfrac{BE}{BC}= \dfrac{BD}{AB}= \dfrac{AB-AD}{AB}$ άρα

$ST.AB=AD.AB-AD^2 \Rightarrow \dfrac{ST}{AB} = \dfrac{AD}{AB}- (\dfrac{AD}{AB} )^2$

Αρκεί να δείξουμε ότι $\dfrac{AD}{AB}- (\dfrac{AD}{AB} )^2 \leq \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow (\dfrac{2AD}{AB}-1)^2 \geq 0$ αληθής

Ούτε ένα τέταρτο.png

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 21, 2023 7:01 pm Ούτε ένα τέταρτο.pngΑπό τυχόν σημείο της πλευράς , τριγώνου , φέρω : $DE\parallel AC$ και : $DZ\parallel BC$ .

Η τέμνει το τμήμα στο σημείο και η το στο . Δείξτε ότι : $ST\leq \dfrac{AB}{4}$ .

$\displaystyle \frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{DS}}{{SZ}} \Leftrightarrow \frac{{BT}}{{TZ}} = \frac{{DS}}{{SZ}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ST||DB}$

: Ούτε ένα τέταρτο.png (10.78 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} ST||AD \Leftrightarrow AD = \frac{{ST \cdot DE}}{{ET}} \hfill \\ \hfill \\ ST||BD \Leftrightarrow BD = \frac{{ST \cdot DE}}{{DT}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AD + BD = ST \cdot DE \cdot \frac{{DT + ET}}{{DT \cdot ET}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle AB = ST\frac{{{{(DT + ET)}^2}}}{{DT \cdot ET}} \geqslant 4ST \Leftrightarrow$ $\boxed{ST \leqslant \frac{{AB}}{4}}$

Ούτε ένα τέταρτο

Ούτε ένα τέταρτο

Re: Ούτε ένα τέταρτο

Re: Ούτε ένα τέταρτο

Re: Ούτε ένα τέταρτο

Μέλη σε σύνδεση