Παραγοντοποίηση

Tolaso J Kos · #1

Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{\left ( \alpha + \beta \right )^7 - \alpha^7 - \beta^7}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 26, 2023 8:56 pm
Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{\left ( \alpha + \beta \right )^7 - \alpha^7 - \beta^7}$ .

Μπορούμε με πολλούς τρόπους. Θα γράψω έναν περίεργο.

Γράφοντας $A = a+b, \, B = -a,\, C = -b$ έχουμε να παραγοντοποιήσουμε το A^7+B^7+C^7

υπό την συνθήκη A+B+C=0

.

Από το ποστ #8 εδώ έχουμε

$\dfrac { A^7+B^7+C^7} {7} = \dfrac { A^5+B^5+C^5} {5} \dfrac { A^2+B^2+C^2} {2} = \dfrac { A^3+B^3+C^3} {3} \dfrac { A^2+B^2+C^2} {2} \dfrac { A^2+B^2+C^2} {2} =$

$=ABC \left ( \dfrac { A^2+B^2+C^2} {2} \right ) ^2= ab(a+b) \left ( \dfrac { (a+b)^2+a^2+b^2} {2} \right ) ^2$ .

Τελικά μετά από άμεσες απλοποιήσεις,

$\boxed {(a+b)^7-a^7-b^7= 7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2}$

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 26, 2023 8:56 pm
Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{\left ( \alpha + \beta \right )^7 - \alpha^7 - \beta^7}$ .

$\displaystyle{(a+b)^7 -a^7 -b^7 =(a+b)^7 -(a+b)(a^6 -a^5 b+a^4 b^2 -a^3 b^3 +a^2 b^4 -ab^5 +b^6 )=}$

$\displaystyle{(a+b)[(a+b)^6 -a^6 +a^5 b -a^4 b^2 +a^3 b^3 -a^2 b^4 +ab^5 -b^6 ]=}$

$\displaystyle{(a+b)(a^6 +6a^5 b+15a^4 b^2 +20a^3 b^3 +15a^2 b^4 +6ab^5 +b^6 -a^6 +a^5 b -a^4 b^2 +a^3 b^3 -a^2 b^4 +ab^5 -b^6 )=}$

$\displaystyle{(a+b)(7a^5 b+14a^4 b^2 +21a^3 b^3 +14a^2 b^4 +7ab^5 )=}$

$\displaystyle{7ab(a+b)(a^4 +2a^3 b+3a^2 b^2 +2ab^3 +b^4 )=}$

$\displaystyle{7ab(a+b)(a^4 +b^4 +a^2 b^2 +2a^2 b^2 +2ab^3 +2a^3 b)=}$

$\displaystyle{7ab(a+b)(a^2 +b^2 +ab)^2}$

Tolaso J Kos · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 26, 2023 11:56 pm
Μπορούμε με πολλούς τρόπους. Θα γράψω έναν περίεργο.

Όταν έθεσα το θέμα εχθές, δεν είχα στο νου μου ότι θα συνδεθεί αυτό το θέμα με προηγούμενο. Μιχάλη, my hat is off.

mathematica.gr

Παραγοντοποίηση

Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Μέλη σε σύνδεση