Λίγο από όλα

#1

Δίνεται το πολυώνυμο:

$\displaystyle{Q(x)=x^n +npx^{n-1}+(n-1)px^{n-2}+(n-2)px^{n-3} + . . . +3px^2 +2px+p}$ ,

όπου ο $\displaystyle{p}$ είναι πρώτος.

Αν $\displaystyle{k}$ είναι φυσικός αριθμός διάφορος του $\displaystyle{1}$ και ο αριθμός $\displaystyle{\frac{k(k+1}{2}}$ είναι διαιρέτης του $\displaystyle{p}$ ,

να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{Q(p) = \frac{(6n+1).3^n +3}{4}}$

ΔΙΟΡΘΩΣΗ:

Έκανα μια αλλαγή στην υπόθεση: Αντί $\displaystyle{Q(\frac{k(k+1)}{2})=0}$ , έγραψα ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{k(k+1)}{2}}$ είναι διαιρέτης του $\displaystyle{p}$ ,
(με $\displaystyle{k}$ φυσικό διάφορο του $\displaystyle{1}$ .)
Αρχικά μοιάζει να είναι το ίδιο, αλλά το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ρίζα θετική, οπότε θα είχαμε ψευδή υπόθεση, που
καλό είναι να την αποφεύγουμε.

abgd · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Πέμ Ιούλ 27, 2023 12:09 am Δίνεται το πολυώνυμο:

$\displaystyle{Q(x)=x^n +npx^{n-1}+(n-1)px^{n-2}+(n-2)px^{n-3} + . . . +3px^2 +2px+p}$ ,

όπου ο $\displaystyle{p}$ είναι πρώτος.

Αν $\displaystyle{k}$ είναι φυσικός αριθμός διάφορος του $\displaystyle{1}$ και ο αριθμός $\displaystyle{\frac{k(k+1}{2}}$ είναι διαιρέτης του $\displaystyle{p}$ ,

να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{Q(p) = \frac{(6n+1).3^n +3}{4}}$

Εφόσον $\displaystyle{\frac{k(k+1)}{2}}, \ \ k\ne 1$ είναι διαιρέτης του $\displaystyle{p}$ και οι μοναδικοί διαιρέτες του $\displaystyle{p}$ είναι οι $\displaystyle{p}, 1$ , θα πρέπει $\displaystyle{k=2}$ και $\displaystyle{p=3}$

Είναι

$\displaystyle{Q(x)=x^n +npx^{n-1}+(n-1)px^{n-2}+(n-2)px^{n-3} + . . . +3px^2 +2px+p}$

πολλαπλασιάζοντας με $\displaystyle{x}$

$\displaystyle{xQ(x)=x^{n+1} +npx^n+(n-1)px^{n-1}+(n-2)px^{n-2} + . . . +3px^3 +2px^2+px}$

αφαιρώντας

$\displaystyle{(x-1)Q(x)=x^n(np+x-1) +p\left(-x^{n-1}-x^{n-2}- . . . -x^2 -x-1\right)=x^n(np+x-1)-p\frac{x^n-1}{x-1}}$

πολλαπλασιάζοντας με $\displaystyle{x-1}$

$\displaystyle{(x-1)^2Q(x)=x^n\left(np(x-1)+(x-1)^2-p\right)+p}$

θέτοντας $\displaystyle{x=p=3}$ έχουμε το ζητούμενο.

.............................................................

Μια λύση εκτός φακέλου....

Μία αρχική της συνάρτησης

$\displaystyle{Q(x)=x^n +npx^{n-1}+(n-1)px^{n-2}+(n-2)px^{n-3} + . . . +3px^2 +2px+p}$

είναι η

$\displaystyle{f(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} +px^{n}+px^{n-1}+ . . . +px^2+px=\frac{x^{n+1}}{n+1}+px\frac{x^n-1}{x-1}}$

Παραγωγίζοντας και κάνοντας τις πράξεις έχουμε:

$\displaystyle{f'(x)=Q(x)=\frac{x^n\left(np(x-1)+(x-1)^2-p\right)+p}{(x-1)^2}$

θέτοντας $\displaystyle{x=p=3}$ έχουμε το ζητούμενο.

Λίγο από όλα

Λίγο από όλα

Re: Λίγο από όλα

Μέλη σε σύνδεση