Κατασκευή και συνευθειακά

#1

: Κατασκευή και συνευθειακά.png (19.17 KiB) Προβλήθηκε 2609 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο (O).

α) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου

που να εφάπτεται στην πλευρά

και εσωτερικά στον κύκλο (O)

στο σημείο

β) Έστω

το σημείο επαφής του κύκλου (K)

με την

. Αν οι κάθετες από τα σημεία A, C

στις

αντίστοιχα

τέμνονται στο

, να δείξετε ότι τα σημεία B, K, M

είναι συνευθειακά.

KARKAR · #2

: Κατασκευή.png (27.39 KiB) Προβλήθηκε 2587 φορές

α) Η εφαπτόμενη του περικύκλου στο

, τέμνει την προέκταση της

στο

.

Η διχοτόμος της $\widehat{ASC}$ τέμνει την

στο ποθούμενο σημείο

.

#3

Επαναφορά για το β) ερώτημα.

Xriiiiistos · #4

george visvikis έγραψε: Δευ Νοέμ 28, 2016 7:10 pm Κατασκευή και συνευθειακά.png
Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο
α) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου που να εφάπτεται στην πλευρά και εσωτερικά στον κύκλο στο σημείο

β) Έστω το σημείο επαφής του κύκλου με την . Αν οι κάθετες από τα σημεία στις αντίστοιχα

τέμνονται στο , να δείξετε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

β) Δίχως βλάβη έστω b>c

. (Στο σχήμα $\Gamma \equiv M$ )
Η εφαπτομένη του (O,OA)

τέμνει την BC στο

Ισχύουν οι εξής σχέσεις $TB=\dfrac{ac^{2}}{b^{2}-c^{2}}$ , $TC=\dfrac{ab^{2}}{b^{2}-c^{2}}$ , $TA=\dfrac{acb}{b^{2}-c^{2}}$ . Είναι εύκολες οπότε τις αφήνω δίχως απόδειξη.

R,F

μέσα των

αντίστοιχα άρα R κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ADC

: ΚΑΤΑΣΚΕΥΉ ΚΑΙ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΆ.png (492.11 KiB) Προβλήθηκε 2150 φορές

συνευθειακά στην μεσοκάθετη του

. Από θ.θ.

$\dfrac{KD}{RF}=\dfrac{TD}{TF}\Leftrightarrow \dfrac{2KD}{MC}=\dfrac{TD}{TF}$ (1)

Για να είναι B,K,M

συνευθειακά πρέπει να ισχύει από θ.θ.

$KD/MC=BD/BC\overset{(1)}{\Leftrightarrow }TD/(2TF)=BD/BC\Leftrightarrow$

$\dfrac{TD}{2TC-DC}=\dfrac{BD}{BC}\Leftrightarrow \dfrac{TD}{2TC-BC+BD}=\dfrac{TA-TB}{BC}\Leftrightarrow$

$\dfrac{TA}{TC+TA}=\dfrac{TA-TB}{a}\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}}{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}+\dfrac{b^{2}a}{b^{2}-c^{2}}}=\dfrac{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}-\dfrac{c^{2}a}{b^{2}-c^{2}}}{a}$

$\Leftrightarrow \dfrac{c}{c+b}=\dfrac{c(b-c)}{b^{2}-c^{2}}\Leftrightarrow b^{2}-c^{2}=b^{2}-c^{2}$ που ισχύει

άρα B,K,M

συνευθειακά

#5

Xriiiiistos έγραψε: Τετ Απρ 15, 2020 11:17 pm
george visvikis έγραψε: Δευ Νοέμ 28, 2016 7:10 pm Κατασκευή και συνευθειακά.png
Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο
α) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου που να εφάπτεται στην πλευρά και εσωτερικά στον κύκλο στο σημείο

β) Έστω το σημείο επαφής του κύκλου με την . Αν οι κάθετες από τα σημεία στις αντίστοιχα

τέμνονται στο , να δείξετε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
β) Δίχως βλάβη έστω . (Στο σχήμα $\Gamma \equiv M$ )
Η εφαπτομένη του τέμνει την BC στο
Ισχύουν οι εξής σχέσεις $TB=\dfrac{ac^{2}}{b^{2}-c^{2}}$ , $TC=\dfrac{ab^{2}}{b^{2}-c^{2}}$ , $TA=\dfrac{acb}{b^{2}-c^{2}}$ . Είναι εύκολες οπότε τις αφήνω δίχως απόδειξη.

μέσα των αντίστοιχα άρα R κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου

ΚΑΤΑΣΚΕΥΉ ΚΑΙ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΆ.png

συνευθειακά στην μεσοκάθετη του . Από θ.θ.

$\dfrac{KD}{RF}=\dfrac{TD}{TF}\Leftrightarrow \dfrac{2KD}{MC}=\dfrac{TD}{TF}$ (1)

Για να είναι συνευθειακά πρέπει να ισχύει από θ.θ.

$KD/MC=BD/BC\overset{(1)}{\Leftrightarrow }TD/(2TF)=BD/BC\Leftrightarrow$

$\dfrac{TD}{2TC-DC}=\dfrac{BD}{BC}\Leftrightarrow \dfrac{TD}{2TC-BC+BD}=\dfrac{TA-TB}{BC}\Leftrightarrow$

$\dfrac{TA}{TC+TA}=\dfrac{TA-TB}{a}\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}}{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}+\dfrac{b^{2}a}{b^{2}-c^{2}}}=\dfrac{\dfrac{bac}{b^{2}-c^{2}}-\dfrac{c^{2}a}{b^{2}-c^{2}}}{a}$

$\Leftrightarrow \dfrac{c}{c+b}=\dfrac{c(b-c)}{b^{2}-c^{2}}\Leftrightarrow b^{2}-c^{2}=b^{2}-c^{2}$ που ισχύει

άρα συνευθειακά

Σ' ευχαριστώ και που την ξέθαψες και που την έλυσες

Henri van Aubel · #6

Δεν ξέρω κι εγώ πως την ξέθαψα ...

ας δούμε και μία άλλη λύση

α) Η διχοτόμος της γωνίας $\angle BAC$ τέμνει την πλευρά

στο σημείο

και η μεσοκάθετος του τμήματος

τέμνει το τμήμα

στο ζητούμενο σημείο

Ο κύκλος $\left ( K,KA \right )$ είναι ο ζητούμενος.

β) Έχουμε $\displaystyle \frac{MC}{KD}=\frac{MC}{AD}\cdot \frac{AD}{KD}=2\cos \angle KAD\cdot \frac{\sin \angle MAC}{\sin \angle C}$ οπότε $\displaystyle \frac{MC}{KD}=\frac{\displaystyle 2\cos \left ( 90^\circ-\frac{A}{2}-C \right )\cos \frac{A}{2}}{\sin C}=\frac{\displaystyle 2\sin \left ( \frac{A}{2}+C \right )\cos \frac{A}{2}}{\sin C}=\frac{\sin B+\sin C}{\sin C}\left ( 1 \right )$

Όμως $\displaystyle \frac{BC}{BD}=\frac{BD+DC}{BD}=1+\frac{AC}{AB}=\frac{\sin B+\sin C}{\sin C}^{\left ( 1 \right )}\Rightarrow \boxed{\frac{MC}{KD}=\frac{BC}{BD}}\left ( 2 \right )$

Αφού ισχύει η σχέση $\left ( 2 \right )$ και επιπλέον ισχύουν $KD\parallel MC$ και B,D,C

συνευθειακά, έπεται πως και τα σημεία B,K,M

είναι συνευθειακά, όπως θέλαμε. $\square$

Κατασκευή και συνευθειακά

Κατασκευή και συνευθειακά

Re: Κατασκευή και συνευθειακά

Re: Κατασκευή και συνευθειακά

Re: Κατασκευή και συνευθειακά

Re: Κατασκευή και συνευθειακά

Re: Κατασκευή και συνευθειακά

Μέλη σε σύνδεση