Εισαγωγικές Ε. Μ. Π. 1958

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

Βλέπε την εργασία του Παναγιώτη Λώλα εδώ (ποστ #7, και μετά βλέπε στην σελίδα 7).

Για ένα ωραίο θεώρημα σχετικά με αυτούς τους κύκλους, που στην βιβλιογραφία ονομάζονται "μικτοεγγεγραμμένοι" ή mixtilinear", βλέπε εδώ. Έχω βάλει και ένα σχόλιο στην παραπομπή αυτή...

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 2:33 pm
Ε. Μ, Π. 1958.png

Να υπολογιστεί η ακτίνα κύκλου , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών $AB,\,\,AC$ τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο

και ακόμη ο εφάπτεται και του .

Πρώτα οι κατασκευές .

: Εισαγωγικές ΕΜΠ 1958_α περίπτωση κατασκευή.png (20.21 KiB) Προβλήθηκε 3331 φορές

Η πρώτη περίπτωση π. χ. με συμμετρική αντιστροφή : Αντιστρέφω τον

παρεγγεγραμμένο με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής , ${k^2} = bc$

και η δεύτερη με το πρόβλημα του Απολλώνιου ${\rm E}.{\rm E}.{\rm K}.$

: Εισαγωγικές ΕΜΠ 1958_b περίπτωση κατασκευή.png (12.34 KiB) Προβλήθηκε 3331 φορές

Οι υπολογισμοί θα περιμένουν

Δίδω και δυναμικά αρχεία ( σε Geogebra με δώρο εργαλεία)
.
.

: ΕΜΠ_1958.png (21.08 KiB) Προβλήθηκε 3319 φορές

Το πιο πάνω δεν δουλεύει σαν δυναμικό στο Geogwbra . Στο λογισμικό που συνήθως εργάζομαι δουλεύει και το δυναμικό αρχείο .

#5

Να πω, ότι τους δύο συγκεκριμένους μικτόγραμμους κύκλους τους έχω συναντήσει, ως κύκλους M. Mannheim.

Οι ακτίνες τους, σε σχετικά μνημονική μορφή, είναι

r_a/cos^2(A/2)

και

#6

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 6:34 pm
Να πω, ότι τους δύο συγκεκριμένους μικτόγραμμους κύκλους τους έχω συναντήσει, ως κύκλους M. Mannheim.

Οι ακτίνες τους, σε σχετικά μνημονική μορφή, είναι

και

Υπολογισμός της ακτίνας υπάρχει και εδώ. Η άλλη ακτίνα υπολογίζεται ανάλογα.

#7

orestisgotsis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 2:33 pm
Ε. Μ, Π. 1958.png

Να υπολογιστεί η ακτίνα κύκλου , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών $AB,\,\,AC$ τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο

και ακόμη ο εφάπτεται και του .

Η ημετέρα πλήρης σε κατασκευή και υπολογισμό λύση .

Έστω $I\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{I_a}$ τα κέντρα εγγεγραμμένου και παρεγγεγραμμένου , στην πλευρά

, κύκλων .

α) Αντιστρέφω με πόλο το

τον εγγεγραμμένο με δύναμη αντιστροφής, ${k^2} = A{I^2}$

και προκύπτει ο κύκλος κέντρου

που εφάπτεται εσωτερικά του $\left( O \right) \equiv \left( {A,B,C} \right)$ .

α) Αντιστρέφω πάλι με πόλο το

τον προαναφερθέντα παρεγγεγραμμένο με δύναμη αντιστροφής , ${l^2} = A{I_a}^2$

και προκύπτει ο κύκλος κέντρου

που εφάπτεται εξωτερικά του $\left( O \right)$ .

Και οι δυο αυτοί κύκλοι εφάπτονται των ευθειών $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ .

: Εισαγωγικές ΕΜΠ 1958_ok_1.png (24.22 KiB) Προβλήθηκε 3208 φορές

Ας δούμε τώρα τον υπολογισμό της ακτίνας ( π.χ. )

, με όμοιο τρόπο μετά γίνεται και της ακτίνας

.

Οι δύο κύκλοι : $\left( {I,r} \right)\,\,,\,\left( {K,KD} \right)$ είναι αντίστροφοι αλλά και ομοιόθετοι με κέντρο ομοιοθεσίας το

και λόγο ομοιοθεσίας :

$\boxed{\frac{{KD}}{r} = \frac{{{k^2}}}{{{p^2}}}}$ όπου ${p^2}$ η δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο $\left( {I,r} \right)$ και άρα :

$\boxed{KD = \frac{{r \cdot A{I^2}}}{{A{I^2} - {r^2}}}}$ . Ομοίως : $\boxed{LE = \frac{{{r_a} \cdot AI_a^2}}{{AI_a^2 - {r_a}^2}}}$

Στο δυναμικό αρχείο του Geogebra που επισυνάπτω μπορείτε να διαπιστώσετε και την αντιστροφή των κύκλων και την αλήθεια των τύπων που δίνουν τις ακτίνες τους

orestisgotsis · #8

ΠΕΡΙΤΤΑ

Εισαγωγικές Ε. Μ. Π. 1958

Εισαγωγικές Ε. Μ. Π. 1958

Re: Εισαγωγικές Ε. Μ. Π. 1958

Re: Εισαγωγικές Ε. Μ. Π. 1958

Re: Εισαγωγικές Ε. Μ. Π. 1958

Re: Εισαγωγικές Ε. Μ. Π. 1958

Re: Εισαγωγικές Ε. Μ. Π. 1958

Re: Εισαγωγικές Ε. Μ. Π. 1958

Re: Εισαγωγικές Ε. Μ. Π. 1958

Μέλη σε σύνδεση