Δύσκολη σαρανταπεντάρα

KARKAR · #1

: Δύσκολη σαρανταπεντάρα.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου

της έλλειψης , ώστε : $\widehat{ASB}=45^0$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 16, 2023 11:36 am
Δύσκολη σαρανταπεντάρα.pngΒρείτε τις συντεταγμένες του σημείου της έλλειψης , ώστε : $\widehat{ASB}=45^0$

Είναι

. Αν

τότε οι κλίσεις των AS, BS

είναι $\dfrac {q}{p+3} , \, \dfrac {q+2}{p}$ . Από τον τύπο της γωνίας μεταξύ ευθειών με γνωστές κλίσεις έχουμε

$\dfrac { \dfrac {q+2}{p}- \dfrac {q}{p+3} }{1+ \dfrac {q+2}{p} \cdot \dfrac {q}{p+3}} = 1$ . Ισοδύναμα p^2+q^2+p-q-6=0

.

Λύνουμε το σύστημα που αποτελείται από την προηγούμενη και την $\dfrac {p^2}{9}+ \dfrac {q^2}{4}=1$ (συνθήκη να βρίσκεται στην έλλειψη το

).

Aφήνω τις πράξεις ρουτίνας γιατί η πληκτρολόγιση είναι επίπονη (και η άσκηση μάλλον απωθεί τους μαθητές από τα Μαθηματικά αλλά τονίζω ότι είναι αναγκαίο να μην αμελήσει ο μαθητής και τέτοια θέματα). Θα βρούμε

$(p,q) = (\frac {9}{5},\, \frac {8}{5})$ (δεκτή) ή (p,q) = (-3, 0)

ή

ή $(p,q) = (-\frac {12}{5}, \, -\frac {6}{5})$ (απορρίπτονται).

#3

Δίνω και άλλον έναν τρόπο (αλλά χωρίς τις πράξεις), ο οποίος αποφεύγει τον τύπο για την γωνία δύο ευθειών.

Βρίσκουμε την εξίσωση του κύκλου που βλέπει την

υπό γωνία

. Ένας τρόπος να το κάνουμε είναι να παρατηρήσουμε ότι α) το κέντρο του

είναι στην μεσοκάθετο της

, την οποία μπορούμε να την βρούμε. β) Επίσης το κέντρο του βλέπει την

υπό γωνία $2\times 45^o =90^o$ , δηλαδή είναι στο ημικύκλιο με διάμετρο την

, το οποίο μπορούμε να βρούμε.

Από τα δύο αυτά θα βρούμε τις συντεταγμένες του

και την ακτίνα του KA=KB

του ζητούμενου κύκλου. Άρα βρίσκουμε την εξίσωσή του.

Εκεί που ο κύκλος αυτος τέμνει την έλλειψη, είναι το ζητούμενο σημείο

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 16, 2023 11:36 am
Δύσκολη σαρανταπεντάρα.pngΒρείτε τις συντεταγμένες του σημείου της έλλειψης , ώστε : $\widehat{ASB}=45^0$

Έστω

και

το κοινό σημείο της

με την έλλειψη. Τότε οι συντεταγμένες του

είναι λύση του συστήματος:

: Δύσκολη σαρανταπεντάρα.png (13.76 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} y = 2x - 2 \hfill \\ 4{x^2} + 9{y^2} = 36 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow T\left( {\frac{9}{5},\frac{8}{5}} \right)$

$\displaystyle \cos (A\widehat TB) = \frac{{\overrightarrow {TA} \cdot \overrightarrow {TB} }}{{|\overrightarrow {TA} | \cdot |\overrightarrow {TB} |}} = \frac{{\dfrac{{216 + 144}}{{25}}}}{{\dfrac{{\sqrt {640} \cdot \sqrt {405} }}{{25}}}} = \frac{{360}}{{8 \cdot 9\sqrt {50} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow A\widehat TB = 45^\circ$

Άρα το

ταυτίζεται με το ζητούμενο σημείο

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η εφαπτομένη της έλλειψης στο είναι κάθετη στην

Δύσκολη σαρανταπεντάρα

Δύσκολη σαρανταπεντάρα

Re: Δύσκολη σαρανταπεντάρα

Re: Δύσκολη σαρανταπεντάρα

Re: Δύσκολη σαρανταπεντάρα

Μέλη σε σύνδεση