Και γεωμετρία και άλγεβρα.

#1

Σε ένα τρίγωνο ABC

στο οποίο ισχύει $\widehat{ABC}\ge 90^{o}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R=2

.
Αν

είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση x^4+ax^3+bx^2+cx+1=0

, όπου

(πλεύρες του τριγώνου δηλαδή). Βρείτε όλες τις πιθανές τιμές που μπορεί να λάβει ο αριθμός

.

ksofsa · #2

Καλησπέρα.

Έστω ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός

. Για να ισχύει η ισότητα, θα πρέπει x< 0

.

Έστω $y=\left | x \right |$ και η εξίσωση γράφεται:

y^4-ay^3+by^2-cy+1=0

$y^2+\dfrac{1}{y^2}+b=ay+\dfrac{c}{y}$

Όμως, $b^2\geq c^2+a^2$ , διότι η γωνία $\angle B$ μη οξεία, και από Cauchy-Schwartz ισχύει:

$y^2+\dfrac{1}{y^2}+b=ay+\dfrac{c}{y}\leq \sqrt{(a^2+c^2)(y^2+\dfrac{1}{y^2})}\leq b\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}$ .

Θέτω $z=\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}$ και παίρνω:

$z^2+b\leq bz$ .

Αν ήταν $b<4\Leftrightarrow b<2\sqrt{b}$ , θα παίρναμε $z^2+b=bz< 2\sqrt{b}z\Rightarrow (z-\sqrt{b})^2< 0$

άτοπο.

Άρα, $b\geq 4$ κι επειδή R=2

, θα πρέπει b=4

.

Επομένως, $z^2+4=4z\Leftrightarrow z=2\Leftrightarrow y^2+\dfrac{1}{y^2}=4\Leftrightarrow (y+\dfrac{1}{y})^2=6\Leftrightarrow y+\dfrac{1}{y}=\sqrt{6}$

Άρα, $y=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

και οι τιμές που μπορεί να πάρει το

είναι οι αντίθετες των 2 παραπάνω.

Για το ότι μπορεί να πάρει τις 2 αυτές τιμές, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι όλες οι ανισότητες μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα ως ισότητες.

Πράγματι, αν b=4

, το τρίγωνο ορθογώνιο, οπότε b^2=c^2+a^2

και επιλέγουμε κατάλληλα τα c,a

, ώστε να ισχύει η ισότητα στην Cauchy Schwartz. Θα πρέπει

$\dfrac{a}{y}=\dfrac{c}{\frac{1}{y}}\Leftrightarrow \dfrac{a}{c}=y^2$ κι επειδή a^2+c^2=16

, μπορούμε να προσδιορίσουμε ακριβώς τα c,a

, πράγμα που, ωστόσο, δε ζητείται.

Και γεωμετρία και άλγεβρα.

Και γεωμετρία και άλγεβρα.

Re: Και γεωμετρία και άλγεβρα.

Μέλη σε σύνδεση