Ύψος

KARKAR · #1

: ύψος.png (6.55 KiB) Προβλήθηκε 1155 φορές

$\bigstar$ Υπολογίστε το ύψος

του τριγώνου ABC

. ( Είναι : $\widehat{BAC}=120^\circ , BD=2 ,DC=5$ ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 17, 2023 12:50 pm
ύψος.png $\bigstar$ Υπολογίστε το ύψος του τριγώνου . ( Είναι : $\widehat{BAC}=120^\circ , BD=2 ,DC=5$ ) .

Έστω $B\widehat AD = \omega ,C\widehat AD = \varphi$ και

το ζητούμενο ύψος. Τότε:

$\displaystyle \tan (\omega + \varphi ) = \tan 120^\circ \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{2}{h} + \dfrac{5}{h}}}{{1 - \dfrac{{10}}{{{h^2}}}}} = - \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 3 {h^2} + 7h - 10\sqrt 3 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{h > 0}$ $\boxed{h=\sqrt 3}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 17, 2023 12:50 pm
ύψος.png $\bigstar$ Υπολογίστε το ύψος του τριγώνου . ( Είναι : $\widehat{BAC}=120^\circ , BD=2 ,DC=5$ ) .

Με πλευρά το BC = BD + DC = 2 + 5 = 7

κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο TBC

και

φέρνω κάθετη στο

επί την

που τέμνει τον κύκλο του ισοπλεύρου τριγώνου στα

πάνω και

κάτω .

Αν $AD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE = y\,\,\left( {0 < x < y} \right)$ θα έχω: $\boxed{xy = 5 \cdot 2 = 10\,}\,\,\left( 1 \right)$ ( με όμοια τρίγωνα ή δύναμη σημείου )

Η ακτίνα

προκύπτει από τη σχέση , ${\lambda _3} = R\sqrt 3 \Rightarrow \boxed{R = \dfrac{7}{{\sqrt 3 }}}$ . Αν

το μέσο του AE = x + y

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle NOA$ προκύπτει:

: ύψος.png (24.92 KiB) Προβλήθηκε 1066 φορές

${\left( {\dfrac{{AE}}{2}} \right)^2} = O{A^2} - O{N^2} \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{49}}{3} - \dfrac{9}{2} \Rightarrow \boxed{x + y = \dfrac{{13}}{{\sqrt 3 }}}\,\,\left( 2 \right)$

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ και τις σχέσεις Vieta

έχω την εξίσωση : ${k^2} - \dfrac{{13k}}{{\sqrt 3 }} + 10 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k = \sqrt 3 \hfill \\ k = \frac{{10\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα $\boxed{x = \sqrt 3 }$

Ύψος

Ύψος

Re: Ύψος

Re: Ύψος

Μέλη σε σύνδεση