Ρίζες σε ακέραιο μέρος

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left \lfloor \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\left ( 4! \right )!}}}}} \right \rfloor = 5}$

Αρχιμήδης 6 · #2

$4!!=2^{22}*3^{10}*5^4*7^3*11^2*13*17*19*23$

$2^{14}<3^{10}<2^{16}$ , ( προκύπτει απο την 2^7<3^5<2^8

)
$2^9<5^4<2^{10}$
2^8<7^3<2^9

$2^{16}<13*17*19*23<2^{17}$

Από τις παραπάνω ανισότητες και ύστερα απο πολλαπλασιασμό θα εχω την παρακάτω σχέση

$2^{75}<4!!<2^{81}$

$2^{32*2,34}<4!!<2^{32*2,54}$

Τώρα αν στον αριθμό 4!!

εφαρμόσουμε

ριζικά (όπως ακριβώς η μορφή της παράστασης ) και για συντομία το θέσω ως

τότε θα ισχύει

$2^{2,34}<A<2^{2,5}$

Άρα 5,06<[A]<5,6

Οπότε θα έχω

[A]=5

ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ του τρόπου σκέψης.

Η βασική αρχική σκέψη ήταν να εκφράσω τον αριθμό 4!!

ως μια δύναμη με οσο το δυνατόν καλή προσέγγιση. Μια καλή προσέγγιση με χρήση υπολογιστή είναι $4!!=10^{23,79}=10^{32*0,7434375}$ .
Η απόδειξη μου δεν είναι τόσο κομψή αλλά την αφήνω καθαρά για να φανεί ο τρόπος σκέψης καθώς δεν έγινε ιδαίτερη χρήση κομπιούτερ που η βοήθεια του ίσως ήταν καθοριστική για την απόδειξη του ισχυρισμού.

#3

Αρχιμήδης 6 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 19, 2023 12:42 pm
$4!!=2^{22}*3^{10}*5^4*7^3*11^2*13*17*19*23$
...
Η βασική αρχική σκέψη ήταν να εκφράσω τον αριθμό ως μια δύναμη...

Αξίζει ένα σχόλιο για τον παραπάνω συμβολισμό, το λεγόμενο "double factorial".

Στην παραπάνω λύση εννοείται ότι to 4!!

είναι συντομογραφία του (4!)!

, όπως δηλώνεται στην εκφώνηση. Όμως το σύμβολο n!!

στην διεθνή βιβλιογραφία σημαίνει, περιέργως, κάτι άλλο (εξηγώ παρακάτω).

Η αλήθεια είναι ότι στον τόπο μας δεν έχω δει παρά σπάνια το σύμβολο n!!

, οπότε η σωστή του έννοια δεν είναι γνωστή στο ευρύ (ελληνικό) κοινό.

Για το καθιερωμένο διεθνώς σύμβολο, βλέπε για παράδειγμα

εδώ (Wikipedia) ή εδώ (Wolfram).

Συγκεκριμένα, το n!!

για μεν

α) τους άρτιους αριθμούς

είναι το γινόμενο των άρτιων όρων μέχρι το

. Π.χ. $4!! = 2\cdot 4=8$ και $6!!=2\cdot 4\cdot 6= 48$ .

ενώ

β) για δε τους περιττούς αριθμούς

είναι το γινόμενο των περιττών όρων μέχρι το

. Π.χ. $3!! = 1\cdot 3=3$ και $5!!=1\cdot 3\cdot 5= 15$ .

Η περίεργη αυτή πρακτική, σπάνια στον τόπο μας, χρησιμοποιείται ευρέως σε βιβλία Μαθηματικής Φυσικής ή Ειδικών Συναρτήσεων ή, επίσης, σε βιβλία Συνδυαστικής Απαρίθμησης (Enumerative Combinatorics). Έχει πολλά πλεονεκτήματα, γι' αυτό είναι προτιμητέα από συντομογραφία του (n!)!

.

Ρίζες σε ακέραιο μέρος

Ρίζες σε ακέραιο μέρος

Re: Ρίζες σε ακέραιο μέρος

Re: Ρίζες σε ακέραιο μέρος

Μέλη σε σύνδεση