Ύπαρξη ξ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσημη.
Αν f^2(0)+(f'(0))^2>1

και $|f(x)|\leq 1,x\in \mathbb{R}$
τότε
υπάρχει $\xi \in \mathbb{R}$
με $f''(\xi )+f(\xi )=0$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 11:25 am
Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσημη.
Αν
και $|f(x)|\leq 1,x\in \mathbb{R}$
τότε
υπάρχει $\xi \in \mathbb{R}$
με $f''(\xi )+f(\xi )=0$

Συνοπτικά η λύση γιατί πρέπει να φύγω για δουλειά.

Θεωρούμε την $g(x)=\left (f(x) \right )^2+\left (f'(x) \right )^2,x\in\mathbb{R}.$

Είναι $g(0)>1\Rightarrow g(0)=1+\theta (\theta >0).$

ΘΜΤ στην

στο $[0,\frac{4}{\sqrt{\theta }}]:f(\frac{4}{\sqrt{\theta} })-f(0)=\frac{4}{\sqrt{\theta}}f'(\xi _1)\Rightarrow \left | f'(\xi _1) \right |\leq \dfrac{\sqrt{\theta }}{2}$

ΘΜΤ στην

στο $[-\frac{4}{\sqrt{\theta }},0]:f(0)-f(-\frac{4}{\sqrt{\theta} })=\frac{4}{\sqrt{\theta}}f'(\xi _2)\Rightarrow \left | f'(\xi _2) \right |\leq \dfrac{\sqrt{\theta }}{2}$

Είναι

$g(\xi _1)\leq 1+\dfrac{\theta }{4}<1+\theta =g(0)$ και

$g(\xi _2)\leq 1+\dfrac{\theta }{4}<1+\theta =g(0).$

Από ΘΜΕΤ η

παρουσιάζει $max\geq 1+\theta$ στο $[\xi _2,\xi _1]$ σε κάποια θέση $\xi \in[\xi _2,\xi _1]$ .

Αποκλείονται τα άκρα λόγω των δύο τελευταίων ανισοτήτων. Επίσης, αποκλείεται να είναι $f'(\xi )=0$

διότι τότε θα είχαμε $g(\xi )=\left (f(\xi ) \right )^2\geq 1+\theta \Rightarrow \left | f(\xi ) \right |>1.$

Τελικά $g'(\xi )=0\Rightarrow 2f'(\xi )\left ( f(\xi )+f''(\xi ) \right )=0\Rightarrow f(\xi )+f''(\xi )=0.$

Ύπαρξη ξ

Ύπαρξη ξ

Re: Ύπαρξη ξ

Μέλη σε σύνδεση