Ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [0, 1]

με

. Αν η

ικανοποιεί τη σχέση f (f (x)) = x

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{1} \left ( x - f(x) \right )^{2016} \, \mathrm{d}x}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 23, 2023 10:01 am
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με . Αν η ικανοποιεί τη σχέση για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{1} \left ( x - f(x) \right )^{2016} \, \mathrm{d}x}$ .

Έχουμε

. Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής y=f(x)

οπότε τα όρια ολοκλήρωσης γίνονται f(0)=1

και

. Επίσης έχουμε f(y)=f(f(x)) = x

. Άρα $\frac {dx}{dy} = f'(y)$ , και

$\displaystyle{ 2\int_{0}^{1} \left ( x - f(x) \right )^{2016} dx = \int_{0}^{1} \left ( x - f(x) \right )^{2016} dx + \int_{0}^{1} \left ( x - f(x) \right )^{2016} dx =}$

$\displaystyle{= \int_{0}^{1} \left ( x - f(x) \right )^{2016} dx - \int_{0}^{1} \left ( f(y) -y \right )^{2016} f'(y) dy= }$

$\displaystyle{= \int_{0}^{1} \left ( x - f(x) \right )^{2016} dx - \int_{0}^{1} \left ( f(x) -x \right )^{2016} f'(x) dx= }$

$\displaystyle{ = \int_{0}^{1} \left ( x - f(x) \right )^{2016} (1- f'(x))dx = \int_{0}^{1} \left ( x - f(x) \right )^{2016} (x- f(x))'dx =$

$\displaystyle{= \dfrac {1}{2017} \left[\left ( x - f(x) \right )^{2017} \right] _0^1= \dfrac {1}{2017} [(1-0)^{2017}-(0-1)^{2017}] = \dfrac {2}{2017}}$

Οπότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι $\dfrac {1}{2017}$

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση