Ορισμένο ολοκλήρωμα και εμβαδόν

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \int_{0}^{1} \frac{\alpha^{2x}}{\alpha+1} \, \mathrm{d} \alpha$ .

Να βρεθεί ο τύπος τη συνάρτησης .
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle \mathrm{E} \left ( \lambda \right ) = \int_{1}^{\lambda} \left | h(x) \right | \, \mathrm{d}x$ .
Να υπολογιστεί το όριο $\lim \limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \mathrm{E} \left ( \lambda \right )$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 03, 2023 2:07 pm
Δίδεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \int_{0}^{1} \frac{\alpha^{2x}}{\alpha+1} \, \mathrm{d} \alpha$ .

Να βρεθεί ο τύπος τη συνάρτησης .

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle \mathrm{E} \left ( \lambda \right ) = \int_{1}^{\lambda} \left | h(x) \right | \, \mathrm{d}x$ .

Να υπολογιστεί το όριο $\lim \limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \mathrm{E} \left ( \lambda \right )$ .

$\displaystyle{h(x)= f(x+1)- f(x) = \int_{0}^{1} \left ( \frac{a^{2(x+1)}}{a+1} - \frac{a^{2x}}{a+1} \right )da = \int_{0}^{1} \frac{a^{2x}(a^2-1)}{a+1} da =}$

$\displaystyle{ \int_{0}^{1} a^{2x}(a-1)da = \int_{0}^{1} \left ( a^{2x+1} - a^{2x} \right ) da= \dfrac {1} {2x+2} - \dfrac {1}{2x+1}}$ .

Άρα και

$\displaystyle{E(\lambda)= \left [\dfrac {1}{2} \ln (2x+1)} - \dfrac {1}{2} \ln (2x+2)} \right ] _1^{\lambda} =\dfrac {1}{2} \ln \dfrac {2\lambda +1}{2\lambda +2} - \dfrac {1}{2} \ln \dfrac {3}{4}}$

Οπότε $\lim \limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \mathrm{E} \left ( \lambda \right )=\dfrac {1}{2} \ln 1 - \dfrac {1}{2} \ln \dfrac {3}{4}= \dfrac {1}{2} \ln \dfrac {4}{3}$

Ορισμένο ολοκλήρωμα και εμβαδόν

Ορισμένο ολοκλήρωμα και εμβαδόν

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα και εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση