Εντυπωσιακή πρόοδος

KARKAR · #1

Οι αριθμοί : a , b , c

, είναι τρεις διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου .

Βρείτε τους , αν δίνεται ότι έχουν άθροισμα

και άθροισμα τετραγώνων

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 11, 2023 1:10 pm
Οι αριθμοί : , είναι τρεις διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου .

Βρείτε τους , αν δίνεται ότι έχουν άθροισμα και άθροισμα τετραγώνων .

Έστω $\displaystyle \frac{b}{x},b,bx,$ οι όροι της προόδου. Τότε:

$\displaystyle 1 + x + {x^2} = \frac{{5x}}{b}$ ΚΑΙ $\displaystyle 1 + {x^2} + {x^4} = \frac{{15{x^2}}}{{{b^2}}}$

Αλλά, $\displaystyle {\left( {1 + x + {x^2}} \right)^2} = 1 + {x^2} + {x^4} + 2x(1 + x + {x^2}) \Rightarrow \frac{{25{x^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{15{x^2}}}{{{b^2}}} + 2x\frac{{5x}}{b},$ απ' όπου $\boxed{b=1}$

Άρα, $\displaystyle {x^2} - 4x + 1 = 0$ κι επειδή η πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα θα είναι $\boxed{x=2+\sqrt 3}$

Επομένως, $\boxed{(a,b,c)=(2-\sqrt 3, 1, 2+\sqrt 3)}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 11, 2023 1:10 pm
Οι αριθμοί : , είναι τρεις διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου .

Βρείτε τους , αν δίνεται ότι έχουν άθροισμα και άθροισμα τετραγώνων .

Αλλιώς, έστω $\displaystyle a,ax,a{x^2}$ οι όροι της προόδου. Τότε:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} a(1 + x + {x^2}) = 5 \hfill \\ {a^2}(1 + {x^2} + {x^4}) = 15 \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{(:)} a({x^2} - x + 1) = 3 \Rightarrow \frac{5}{{{x^2} + x + 1}} = a = \frac{3}{{{x^2} - x + 1}},$

απ' όπου καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle {x^2} - 4x + 1 = 0$ ΚΑΙ $\displaystyle a = \frac{1}{x}.$ Τα υπόλοιπα όπως και στην (#2).

kkala · #4

Μία κάπως διαφορετική προσέγγιση. Ουσιαστικά ζητείται να λυθεί το σύστημα:
$b^{2}=ac$ , (1)
a+b+c=5

, (2)
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=15$ , (3)

Υψώνοντας τα δύο μέλη της (2) στο τετράγωνο και αφαιρώντας την (3) κατά μέλη, προκύπτει η ab+bc+ac=5

και λόγω της (1) $ab+bc+b^{2}=5$ ή $b(5-b)+b^{2}=5$ λόγω της (2), από όπου 5b=5

και

.
Τώρα πλέον από τα (1) και (2) ac=1, a+c=4

και τα a, c εἰναι ρίζες της x^2-4x+1=0

. Δηλαδή $a=2-\sqrt{3}, c=2+\sqrt{3}$ (καθόσον a<c

).

Εντυπωσιακή πρόοδος

Εντυπωσιακή πρόοδος

Re: Εντυπωσιακή πρόοδος

Re: Εντυπωσιακή πρόοδος

Re: Εντυπωσιακή πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση