Οι τρεις πρώτοι

[KARKAR]

Η ερώτηση προέκυψε τυχαία και την διατυπώνω χωρίς να έχω απάντηση : Οι αριθμοί : , είναι πρώτοι

της μορφής : , με . Υπάρχουν άραγε άλλοι με διαφορετικό και ;

Μπορείτε να βρείτε κατάλληλο περιττό και κατάλληλο άρτιο , ώστε οι : , να είναι όλοι

πρώτοι και αν ναι , έχει άλλες λύσεις το πρόβλημα ; Για παράδειγμα : ή ή .

[Mihalis_Lambrou]

Η ερώτηση προέκυψε τυχαία και την διατυπώνω χωρίς να έχω απάντηση : Οι αριθμοί : , είναι πρώτοι

της μορφής : , με . Υπάρχουν άραγε άλλοι με διαφορετικό και ;

To παραπάνω παράδειγμα είναι το μοναδικό για : Οι πρώτοι είναι της μορφής ή . Τώρα,

α) Αν ο μεσαίος είναι της μορφής , τότε ο αριστερός είναι , που δεν είναι πρώτος για .

β) Αν ο μεσαίος είναι της μορφής , τότε ο δεξιός είναι , που δεν είναι πρώτος.

[Mihalis_Lambrou]

... έχει άλλες λύσεις το πρόβλημα ; Για παράδειγμα : ή ή .

Συνέχεια του προηγουμένου.

α) Για έχουμε λύσεις τις και και και και και και και . Δεν έψαξα αν υπάρχουν και άλλες.

β) Για έχουμε την λύση . Είναι μοναδική γιατί αν ο μεσαίος είναι ο τότε ο δεξιός είναι ο που δεν είναι πρώτος. Επίσης, αν ο μεσαίος είναι ο τότε ο αριστερός είναι ο που δεν είναι πρώτος για .

γ) Για έχουμε την λύση . Είναι μοναδική γιατί αν ο μεσαίος είναι ο τότε ο δεξιός είναι ο που δεν είναι πρώτος. Επίσης, αν ο μεσαίος είναι ο τότε ο αριστερός είναι ο που δεν είναι πρώτος για . (Η περίπτωση απορρίπτεται ενώ η δίνει την προαναφερθείσα τριάδα).

[Demetres]

Ψάχνουμε δηλαδή τρεις πρώτους οι οποίοι να βρίσκονται σε αριθμητική πρόοδο. Οι Green και Tao απέδειξαν ότι υπάρχουν άπειρες τέτοιες τριάδες.

Έχουν μάλιστα βρει ασυμπτοτικά και πόσες τέτοιες τριάδες υπάρχουν. Αν γράψουμε για το πλήθος αυτών των τριάδων όπου όλοι οι πρώτοι είναι μικρότεροι ή ίσοι του , τότε



για κάποια συγκεκριμένη σταθερά .