Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#21

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Παρ Οκτ 13, 2023 11:25 pm Άσκηση 4: Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f:R\rightarrow R}$ , για την οποία ισχύουν :

$\displaystyle{f(2x+1)+2f(3-x)=m(m^2 +n^2 )x - n^3}$ και $\displaystyle{f(1)+2f(2)+3f(3)=n(m^2 -n^2)}$ ,

όπου $\displaystyle{m,n}$ είναι πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{m\neq n}$

Θέτω διαδοχικά x=0, x=1

και τις προσθέτω κατά μέλη.

$\displaystyle f(1) + 2f(2) + 3f(3) = - 2{n^3} + {m^3} + m{n^2}$

Από τη δοσμένη σχέση όμως προκύπτει

$\displaystyle {m^2}n - {n^3} = - 2{n^3} + {m^3} + m{n^2} \Leftrightarrow {m^3} - {n^3} = mn(m - n) \Leftrightarrow (m - n)({m^2} + {n^2}) = 0$

που είναι άτοπο αφού $m\ne n.$

#22

Άσκηση 5 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε πραγματικό αριθμό .

#23

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Οκτ 29, 2023 10:16 am Άσκηση 5 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε πραγματικό αριθμό .

Για

$\displaystyle {f^2}(4) + f(4) + 1 = 0$ που δεν έχει πραγματικές λύσεις.
To ίδιο μπορούμε να κάνουμε και για x=4.

#24

Άσκηση 6 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις $f,\, g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε $x, y \in \mathbb R$ .

Henri van Aubel · #25

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Οκτ 30, 2023 9:15 pm Άσκηση 6 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις $f,\, g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε $x, y \in \mathbb R$ .

Αρχικά, βλέπουμε ότι προφανέστατα η συνάρτηση $f\left ( x \right )=0,\forall x\in \mathbb{R}$ δεν ικανοποιεί τις συνθήκες.

Θέτοντας όπου y=-x-1

, προκύπτει ότι $f\left ( x \right )g\left ( -x-1 \right )=0,\forall x\in \mathbb{R}$ .

Αν η

έχει κάποια ρίζα $a\in \mathbb{R}$ , τότε θα είναι $f\left ( a \right )g\left ( y \right )=0=a+y+1,\forall y\in \mathbb{R}$ , άτοπο.

Αν η

δεν έχει ρίζα, τότε $g\left ( -x-1 \right )=0,\forall x\in \mathbb{R}$ . Θεωρούμε την συνάρτηση $h\left ( x \right )=-x-1,x\in \mathbb{R}$ . Η

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με $h{'}\left ( x \right )=-1< 0,\forall x\in \mathbb{R}$ , άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ . Η

είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ , άρα $\displaystyle h\left ( \mathbb{R} \right )=\left ( \lim_{x\rightarrow +\infty}h\left ( x \right ),\lim_{x\rightarrow -\infty}h\left ( x \right ) \right )=\left ( -\infty,+\infty \right )=\mathbb{R}.$ Επομένως, για κάθε $y\in \mathbb{R}$ , υπάρχει $x_{0}\in \mathbb{R}$ με $h\left ( x_{0} \right )=y\Longrightarrow g\left ( y \right )=0,\forall y\in \mathbb{R}$ . Πηγαίνοντας τώρα στην αρχική, προκύπτει ότι $x+y+1=0,\forall x,y\in \mathbb{R}$ , άτοπο.

#26

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Οκτ 30, 2023 9:15 pm Άσκηση 6 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις $f,\, g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε $x, y \in \mathbb R$ .

Για $\displaystyle{x=y=0}$ έχουμε: $\displaystyle{f(0)g(0)=1}$ , (1)

Για $\displaystyle{x=y=1}$ έχουμε: $\displaystyle{f(1)g(1)=3}$ , (2)

Για $\displaystyle{x=0 , y=1}$ έχουμε: $\displaystyle{f(0)g(1)=2}$ , (3)

Για $\displaystyle{x=1 , y=0}$ έχουμε: $\displaystyle{f(1)g(0)=2}$ , (4)

Από (3),(4) με πολλαπλασιασμό έχουμε: $\displaystyle{f(0)g(0)f(1)g(1)=4}$ και λόγω και της (1) έπεται: $\displaystyle{f(1)g(1)=4}$ και

λόγω και της (2) έχουμε: $\displaystyle{3=4}$ , άτοπο. Άρα δεν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις

#27

Henri van Aubel έγραψε: Δευ Οκτ 30, 2023 9:43 pm
Αρχικά, βλέπουμε ότι προφανέστατα η συνάρτηση $f\left ( x \right )=0,\forall x\in \mathbb{R}$ δεν ικανοποιεί τις συνθήκες.

Θέτοντας όπου , προκύπτει ότι $f\left ( x \right )g\left ( -x-1 \right )=0,\forall x\in \mathbb{R}$ .

Αν η έχει κάποια ρίζα $a\in \mathbb{R}$ , τότε θα είναι $f\left ( a \right )g\left ( y \right )=0=a+y+1,\forall y\in \mathbb{R}$ , άτοπο.

Αν η δεν έχει ρίζα, τότε $g\left ( -x-1 \right )=0,\forall x\in \mathbb{R}$ . Θεωρούμε την συνάρτηση $h\left ( x \right )=-x-1,x\in \mathbb{R}$ . Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με $h{'}\left ( x \right )=-1< 0,\forall x\in \mathbb{R}$ , άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ . Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ , άρα $\displaystyle h\left ( \mathbb{R} \right )=\left ( \lim_{x\rightarrow +\infty}h\left ( x \right ),\lim_{x\rightarrow -\infty}h\left ( x \right ) \right )=\left ( -\infty,+\infty \right )=\mathbb{R}.$ Επομένως, για κάθε $y\in \mathbb{R}$ , υπάρχει $x_{0}\in \mathbb{R}$ με $h\left ( x_{0} \right )=y\Longrightarrow g\left ( y \right )=0,\forall y\in \mathbb{R}$ . Πηγαίνοντας τώρα στην αρχική, προκύπτει ότι $x+y+1=0,\forall x,y\in \mathbb{R}$ , άτοπο.

.
Σωστά μεν, αλλά η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές Α΄ Λυκείου, και μάλιστα στην αρχή της Μαθηματικής τους παιδείας. Βλέπε ποστ #

. Οπότε αναμένω απλούστερη απόδειξη, στα δικά τους πλαίσια.

Edit: Εν τω μεταξύ έγραψε ο Δημήτρης λύση όπως την ζητούσα. Το θέμα λήξαν.

Henri van Aubel · #28

Κύριε Λάμπρου έχετε απόλυτο δίκιο! Μάλλον το παρακανα... ελπίζω να μην τρομάξει κάποιος μαθητής που θα δει τη λύση μου.

Ίσως με παρέσυρε και το γεγονός ότι ήμουν πεπεισμένος πως δεν λύνεται με γνώσεις μέχρι και Α Λυκείου.

#29

Άσκηση 7 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb R-\{0,1\} \longrightarrow \mathbb R$ με $f(x)f \left (\dfrac {1}{1-x} \right) = x$ , για κάθε πραγματικό $x \ne 0$ και $x\ne 1.$

Εδώ το σύνολο $\mathbb R-\{0,1\}$ δηλώνει τους πραγματικούς αριθμούς εκτός τους

και

. Με άλλα λόγια είναι το σύνολο $(- \infty, \, 0) \cup (0,\, 1) \cup (1, \, +\infty)$ .

Henri van Aubel · #30

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Οκτ 31, 2023 11:24 am Άσκηση 7 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb R-\{0,1\} \longrightarrow \mathbb R$ με $f(x)f \left (\dfrac {1}{1-x} \right) = x$ , για κάθε πραγματικό $x \ne 0$ και $x\ne 1.$

Εδώ το σύνολο $\mathbb R-\{0,1\}$ δηλώνει τους πραγματικούς αριθμούς εκτός τους και . Με άλλα λόγια είναι το σύνολο $(- \infty, \, 0) \cup (0,\, 1) \cup (1, \, +\infty)$ .

Θέτοντας $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ , προκύπτει ότι $\displaystyle f\left ( \frac{1}{2} \right )\cdot f\left ( 2 \right )=\frac{1}{2}$ και θέτοντας τώρα στην αρχική x=2

, προκύπτει ότι $f\left ( 2 \right )\cdot f\left ( -1 \right )=2$ . Θέτοντας στην αρχική x=-1

, προκύπτει ότι $\displaystyle f\left ( -1 \right )\cdot f\left ( \frac{1}{2} \right )=-1$ . Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη αυτών προκύπτει ότι $\displaystyle \left [ f\left ( -1 \right )\cdot f\left ( \frac{1}{2} \right )\cdot f\left ( 2 \right ) \right ]^{2}=-1$ , άτοπο.

#31

Άσκηση 8 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε $x, y \in \mathbb R$ με ${\color {red} x\ne y}$ .

Edit. Πρόσθεσα την προϋπόθεση $x\ne y$ την οποία είχα ξεχάσει. Χωρίς αυτήν η άσκηση είναι τετριμμένη.

Henri van Aubel · #32

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Οκτ 31, 2023 9:58 pm Άσκηση 8 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε $x, y \in \mathbb R$ .

Θέτοντας

, προκύπτει ότι $\left | f\left ( 0 \right )-f\left ( 0 \right ) \right |=1$ , άτοπο.

#33

Henri van Aubel έγραψε: Τρί Οκτ 31, 2023 10:24 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Οκτ 31, 2023 9:58 pm Άσκηση 8 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε $x, y \in \mathbb R$ .
Θέτοντας , προκύπτει ότι $\left | f\left ( 0 \right )-f\left ( 0 \right ) \right |=1$ , άτοπο.

Σωστά αλλά είχα ξεχάσει να γράψω ότι θέλουμε $x\ne y$ . Χωρίς αυτήν την υπόθεση η άσκηση είναι τετριμμένη. Τώρα έκανα την διόρθωση στην εκφώνηση,

ksofsa · #34

Για την άσκηση 8:

Για $x\neq y$ , είναι $f(x)\neq f(y)$ , λόγω της υπόθεσης.

Επιλέγω τρεις διαφορετικούς αριθμούς a,b,c

, ώστε

.

Τότε , από την υπόθεση είναι f(b)-f(a)=1,f(c)-f(b)=1

. Προσθέτοντας κατά μέλη, είναι f(c)-f(a)=2

, άτοπο ,διότι, από την υπόθεση, επίσης, f(c)-f(a)=1

.

Ας σημειωθεί ότι η ανυπαρξία συνάρτησης προκύπτει και αν στη θέση του

έχουμε οποιονδήποτε θετικό αριθμό. Αν έχουμε το

, τότε υπάρχει συνάρτηση. Μάλιστα, ικανοποιούν όλες οι σταθερές συναρτήσεις και μόνο αυτές.

#35

Άσκηση 9 Δείξτε ότι δεν υπάρχει 1-1 συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με $f(x^2) \ge f^2 (x) + \dfrac {1}{4}$ , για κάθε $x \in \mathbb R$ .

Επίσης, δείξτε με παράδειγμα ότι υπάρχει συνάρτηση (αναγκαστικά όχι ) που ικανοποιεί την παραπάνω ανισότητα για κάθε $x \in \mathbb R$ .

#36

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Νοέμ 01, 2023 8:57 pm Άσκηση 9 Δείξτε ότι δεν υπάρχει 1-1 συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με $f(x^2) \ge f^2 (x) + \dfrac {1}{4}$ , για κάθε $x \in \mathbb R$ .

Επίσης, δείξτε με παράδειγμα ότι υπάρχει συνάρτηση (αναγκαστικά όχι ) που ικανοποιεί την παραπάνω ανισότητα για κάθε $x \in \mathbb R$ .

Για $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=1}$ βρίσκουμε αμέσως ότι $\displaystyle{f(0)=f(1)=\frac{1}{2}}$ , άρα η $\displaystyle{f}$ δεν είναι 1-1.
Μία συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη είναι η $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{2}}$ για κάθε $\displaystyle{x.}$

#37

matha έγραψε: Τετ Νοέμ 01, 2023 10:56 pm
Για $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=1}$ βρίσκουμε αμέσως ότι $\displaystyle{f(0)=f(1)=\frac{1}{2}}$ , άρα η $\displaystyle{f}$ δεν είναι 1-1.
Μία συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη είναι η $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{2}}$ για κάθε $\displaystyle{x.}$

Σωστά. Αυτό είχα κατά νου, αλλά για όφελος των μαθητών μας (δεδομένου ότι απευθυνόμαστε σε Α' Λυκείου) ας είμαι λίγο αναλυτικότερος σχετικά με πώς από την $f(0) \ge f^2(0) + \frac{1}{4}$ καταλήγουμε στην $f(0) = \dfrac {1}{2}$ .

Η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα $0\ge \left (f(0) - \dfrac {1}{2} \right ) ^2$ , από όπου $f(0)=\frac{1}{2}$ , όπως θέλαμε. Όμοια η περίπτωση για το f(1)

.

#38

Άσκηση 10 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις $f,\, g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με και για κάθε $x \in \mathbb R$ .

#39

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Νοέμ 03, 2023 9:37 pm Άσκηση 10 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις $f,\, g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με και για κάθε $x \in \mathbb R$ .

Θέτουμε στην πρώτη σχέση, όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{f(x)}$ και παίρνουμε: $\displaystyle{f(g(f(x)))=(f(x))^2}$ και στην δεύτερη σχέση, όπου $\displaystyle{x}$

το $\displaystyle{g(x)}$ και παίρνουμε: $\displaystyle{g(f(g(x)))=2g(x)}$

Άρα: $\displaystyle{f(2x)=(f(x))^2}$ , (1)

και $\displaystyle{g(x^2)=2g(x)}$ , (2)

Η (2) για $\displaystyle{x=1}$ δίνει $\displaystyle{g(1)=2g(1)\Rightarrow g(1)=0}$

Η πρώτη από τις δοσμένες σχέσεις, για $\displaystyle{x=1}$ δίνει $\displaystyle{f(g(1)=1\Rightarrow f(0)=1}$

Η (2), για $\displaystyle{x=0}$ δίνει $\displaystyle{g(0)=2g(0)\Rightarrow g(0)=0}$

Τέλος, η πρώτη από τις δοσμένες σχέσεις, για $\displaystyle{x=0}$ δίνει $\displaystyle{f(g(0))=0 \Rightarrow f(0)=0}$ ,

άρα καταλήξαμε σε άτοπο, αφού ήταν και $\displaystyle{f(0)=1}$

#40

(Για Β' Λυκείου)

Άσκηση 11 Δείξτε ότι δεν υπάρχει 1-1 συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε $x \in \mathbb R$ .

Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Μέλη σε σύνδεση