Ισεμβαδικά

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (8.58 KiB) Προβλήθηκε 1386 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να δείξετε ότι (ABCD) = (BEZ)

.

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Τετ Νοέμ 01, 2023 6:26 am shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να δείξετε ότι .

$\displaystyle \tan 15^\circ = \frac{a}{{a + x}} \Leftrightarrow 2 - \sqrt 3 = \frac{a}{{a + x}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = a(\sqrt 3 + 1)}$ (1)

: Ισεμβαδικά.ΜΝ.png (13.66 KiB) Προβλήθηκε 1371 φορές

$\displaystyle DC||BZ \Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{{a - y}}{y}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} y = a(\sqrt 3 - 1)$

$\displaystyle (BEZ) = \frac{{xy}}{2} = \frac{{{a^2}(\sqrt 3 + 1)(\sqrt 3 - 1)}}{2} = {a^2} = (ABCD)$

#3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Τετ Νοέμ 01, 2023 6:26 am shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να δείξετε ότι .

Ας είναι

το μέσο της υποτείνουσας

. Προφανώς : $2\left( {EMB} \right) = \left( {EBZ} \right)\,\,\left( 1 \right)$ .

Η από το

παράλληλη στην

τέμνει στο

τη μεσοκάθετο του

.

: ισεμβαδικά.png (21.7 KiB) Προβλήθηκε 1355 φορές

Τώρα θα είναι $\vartriangle SBM = \vartriangle ABD$ ( ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα με ίσες υποτείνουσες)

Έτσι: $\left( {EBZ} \right) = 2\left( {EBM} \right) = 2\left( {SBM} \right) = 2\left( {ABD} \right) = \left( {ABCD} \right)$ .

#4

Μία προσέγγιση με σχήμα.
Σχηματίζουμε τα τετράγωνα ABML, CBHT

καθώς και τα ισόπλευρα τρίγωνα ABE, CBZ

ενώ

είναι ορθογώνιο κέντρου

και πλευράς

.
Η πλευρά

του τριγώνου APD

είναι διπλάσια της διαμέσου

του τραπεζίου DNML

, επομένως τα APD

,

είναι ισεμβαδικά. Αφαιρώντας το κοινό τους μέρος προκύπτει ότι (BNP)=(ABML)=(ABCD)

.

STOPJOHN · #5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Τετ Νοέμ 01, 2023 6:26 am shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να δείξετε ότι .

Προφανώς το τρίγωνο

DBM

είναι ισοσκελές ,

γιατί $EM=MZ=BM=DB,\hat{Z}=15^{0}=\hat{MBZ},\hat{BDM}=30=\hat{BMD},$ ,

$BL\perp EZ,\hat{LBD}=60^{0},MB=a\sqrt{2},EZ=2a\sqrt{2},BL=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}, (EBZ)=\dfrac{1}{2}2a\sqrt{2}\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=a^{2}=(ABCD)$

KARKAR · #6

: ISNAN.png (9.49 KiB) Προβλήθηκε 1293 φορές

Από τα όμοια D C E , ZBE

, παίρνω : $BZ=\sqrt{3}+1$ .

Οπότε : $E=\dfrac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{2}=1=(ABCD)$ .

KARKAR · #7

: ISNAN cont.png (8.11 KiB) Προβλήθηκε 1292 φορές

Γενικότερα , δείξτε και εδώ ότι : $(BEZ)=(ABCD) , (b \neq a)$ .

#8

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 01, 2023 7:43 pm ISNAN cont.png Γενικότερα , δείξτε και εδώ ότι : $(BEZ)=(ABCD) , (b \neq a)$ .

Από τα όμοια τρίγωνα BAZ, EBZ

έχουμε $BE = \dfrac {a(1+\sqrt 3)}{a+a(1+\sqrt 3)} b= \dfrac {1+\sqrt 3)}{2+\sqrt 3} b$ . Άρα

$(BEZ) = \dfrac {1}{2} BE \cdot BZ = \dfrac {a(1+\sqrt 3)^2}{2(2+\sqrt 3)} b = \dfrac {a(4+2\sqrt 3)}{4+2\sqrt 3} b = ab = (ABCD)$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Τετ Νοέμ 01, 2023 6:26 am shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να δείξετε ότι .

Είναι $\angle DZA=15^0$ ,άρα (γνωστή σχολική άσκηση) $EZ=4BH=4 \dfrac{DB}{2}=2DB$

$2(EBZ)=EZ.BH=DB^2=2a^2\Rightarrow (BEZ)=a^2=(ABCD)$

: Ισεμβαδικά.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 1252 φορές

Ισεμβαδικά

Ισεμβαδικά

Re: Ισεμβαδικά

Re: Ισεμβαδικά

Re: Ισεμβαδικά

Re: Ισεμβαδικά

Re: Ισεμβαδικά

Re: Ισεμβαδικά

Re: Ισεμβαδικά

Re: Ισεμβαδικά

Μέλη σε σύνδεση