Ομοκυκλικά σημεία

#1

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το έγκεντρο Ι, και τα σημεία Ε,Ζ έτσι ώστε : ΒΕ=ΒΔ , ΑΖ=ΑΕ. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Δ,Ι,Ζ,Γ είναι ομοκλυκλικά !

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Καλή βδομάδα !!!

Henri van Aubel · #2

Το είχα πει έμμεσα σε μια ανάρτηση μου στο άλλο topic.

Έτσι όπως είναι, νομίζω κάνει με λίγο σπρώξιμο και για σχολική.

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Κυρ Νοέμ 05, 2023 8:51 pm Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το έγκεντρο Ι, και τα σημεία Ε,Ζ έτσι ώστε : ΒΕ=ΒΔ , ΑΖ=ΑΕ. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Δ,Ι,Ζ,Γ είναι ομοκλυκλικά !

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
ΠΗΓΗ :

Εμπνευσμένο από τον ΘΑΛΗ 2023
Καλή βδομάδα !!!

Αντιγράφω από το σχόλιο μετά το τέλος της επίσημης λύσης:

Στο ισοσκελές τρίγωνο $EB\Delta$ , βρίσκουμε $\displaystyle B\widehat{E}\Delta=B\widehat{\Delta}E=90^\circ-\widehat{B}/2=\widehat{A}/2+\widehat{\Gamma}/2.$

Επειδή $B\widehat{\Delta}I=\widehat{A}/2+\widehat{\Gamma}$ , έχουμε ότι $I\widehat{\Delta}E=I\widehat{E}\Delta=\widehat{\Gamma}/2$ .

Από τη ισότητα των τριγώνω ΑΙΖ

και

έπεται ότι

$A\widehat{I}Z=E\widehat{I}A=\widehat{\Gamma}$ .

Το συμπέρασμα έπεται.

Αχιλλέας

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Κυρ Νοέμ 05, 2023 8:51 pm Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το έγκεντρο Ι, και τα σημεία Ε,Ζ έτσι ώστε : ΒΕ=ΒΔ , ΑΖ=ΑΕ. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Δ,Ι,Ζ,Γ είναι ομοκλυκλικά !

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
ΠΗΓΗ :

Εμπνευσμένο από τον ΘΑΛΗ 2023
Καλή βδομάδα !!!

είναι μεσοκάθετος της

οπότε $\angle EDA= \angle ZDA$

Αλλά $\angle HIC= \angle ICH= \dfrac{A+C}{2} = \angle EDB$ .Άρα $\angle EDA = \dfrac{C}{2} =\angle ZDA=\angle ZCI=\dfrac{C}{2}$

κι επομένως I,Z,C,D

ομοκυκλικά

: ομοκυκλικά.png (54.24 KiB) Προβλήθηκε 1477 φορές

#5

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Κυρ Νοέμ 05, 2023 8:51 pm Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το έγκεντρο Ι, και τα σημεία Ε,Ζ έτσι ώστε : ΒΕ=ΒΔ , ΑΖ=ΑΕ. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Δ,Ι,Ζ,Γ είναι ομοκλυκλικά !

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
ΠΗΓΗ :

Εμπνευσμένο από τον ΘΑΛΗ 2023
Καλή βδομάδα !!!

: Ομοκυκλικά απο Στεργίου λόγω Θαλή 2023.png (31.36 KiB) Προβλήθηκε 1441 φορές

Τα τετράπλευρα , $AEIZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EBDI$ είναι χαρταετοί , άρα $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ και το ζητούμενο φανερό .

#6

Υπέροχα !

Όντως , είχε και σχολικό προορισμό !
Με τις τόσες προσεγγίσεις, θα είναι μια χαρά για ένα πρώτο μάθημα διαγωνισμών !
Μπορούμε να βάλουμε και κανα ερωτηματάκι ακόμα για εξάσκηση !
Να είστε όλοι καλά !
Σας ευχαριστώ πολύ !

Ομοκυκλικά σημεία

Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Μέλη σε σύνδεση