Αριθμοί με ιδιότητα

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι

με την ακόλουθη ιδιότητα:
Υπάρχει θετικός ακέραιος

και μετάθεση $\pi$ του συνόλου $\{1,2,..,n\}$ τέτοια ώστε
$\dfrac{1}{\pi(1)}+\dfrac{2}{\pi(2)}+..+\dfrac{n}{\pi(n)}=n+k$ .

#2

Ισχύει για κάθε

. Παίρνω

και ορίζω $\pi(m) = m$ εκτός από τους αριθμούς που βρίσκονται στα ζεύγη $(1,2),(3,6), \ldots,(4k-1,8k-2)$ όπου ορίζω την $\pi$ να αντιμεταθέτει τους αριθμούς των ζευγών. Σε κάθε ένα από τα

ζεύγη της μορφής (m,2m)

όπου η $\pi$ δεν είναι ταυτοτική, έχω $\displaystyle \frac{m}{\pi(m)} + \frac{2m}{\pi(2m)} = \frac{1}{2} + 2$ . Συνολικά λοιπόν έχω

$\displaystyle \frac{1}{\pi(1)} + \frac{2}{\pi(2)} + \cdots + \frac{n}{\pi(n)} = 2k\left(\frac{1}{2} + 2 \right) + (n-4k) = n+k$

Αριθμοί με ιδιότητα

Αριθμοί με ιδιότητα

Re: Αριθμοί με ιδιότητα

Μέλη σε σύνδεση