Γνησίως μονότονη

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 21, 2023 10:43 pm
Μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ είναι γνησίως μονότονη και ισχύουν: $f\left( \mathbb{R} \right)=\mathbb{R}$ και

$\displaystyle f\left( f(x) \right)={{x}^{5}}-{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+6x-5$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να αποδείξετε ότι οι γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων και ${{f}^{-1}}$ έχουν ένα μοναδικό κοινό σημείο. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου αυτού ;

Ορέστη,

ίσως υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα γιατί όπως είναι τώρα δοσμένη η άσκηση, είναι σίγουρα λάθος. Πράγματι, αν η

είναι γνήσια μονότονη τότε, ως γνωστόν και εύκολα αποδεικτέο, η fof

είναι γνήσια αύξουσα. Πλην όμως από την δοθείσα σχέση έχουμε f(f(-1))= -5 = f(f(0))

. Άτοπο.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 22, 2023 1:06 am
Οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των δύο

συναντήσεων και ${{f}^{-1}}$ είναι οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης: $f(x)={{f}^{-1}}(x)$ .

Επειδή η είναι , έχουμε:

$f(x)={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f\left( f(x) \right)=f\left( {{f}^{-1}}(x) \right)\Leftrightarrow \left( f\circ f \right)(x)=x\Leftrightarrow \cdots$

Ορέστη,

προφανώς δεν κατάλαβες τι προσπαθώ να σου πω. Κάνω άλλη μία προσπάθεια:

Απέδειξα ότι ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ μονότονη συνάρτηση

με $\displaystyle f\left( f(x) \right)={{x}^{5}}-{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+6x-5$ . Από εκεί και πέρα, όλα τα άλλα είναι παρείσακτα. Μιλάμε για συνάρτηση φάντασμα.

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

#6

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 22, 2023 1:35 am
Άλλαξα το 6 και το έκανα 5.

.
Ούτε αυτό την σώζει. Επισυνάπτω το γράφημα της fof

κατά το Geogebra.
.

orestisgotsis · #7

ΠΕΡΙΤΤΑ

#8

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 22, 2023 1:49 am

Αυτή την σώζει ;

Μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ είναι γνησίως μονότονη και ισχύουν: $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ και

$f\left( {{f}^{-1}}(x) \right)={{x}^{5}}-{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+6x-5$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις

των συναρτήσεων και ${{f}^{-1}}$ έχουν ένα μοναδικό κοινό σημείο. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου αυτού;

Mα δεν είναι η αρχική αυτή {πριν την αλλάξεις), που είπαμε ότι δεν μας κάνει;

orestisgotsis · #9

ΠΕΡΙΤΤΑ

#10

Η εξίσωση γίνεται
$\displaystyle{(x-1)(x^4-4x^2+5)=0 }$ ,
$\displaystyle{(x-1)(x^4-1-4(x^2-1))=0}$ ,
$\displaystyle{(χ-1)(χ^2-1)(χ^2-3)=0}$ αρα
$\displaystyle{x=1}$ (διπλή) $\displaystyle{x=-1}$ , $\displaystyle{x=\sqrt{3},x=-\sqrt{3}}$
πολλά κοινά σημεία

orestisgotsis · #11

ΠΕΡΙΤΤΑ

#12

συγνωμη ΑΠΡΟΣΕΞΙΑ

Γνησίως μονότονη

Γνησίως μονότονη

Re: Γνησίως μονότονη

Re: Γνησίως μονότονη

Re: Γνησίως μονότονη

Re: Γνησίως μονότονη

Re: Γνησίως μονότονη

Re: Γνησίως μονότονη

Re: Γνησίως μονότονη

Re: Γνησίως μονότονη

Re: Γνησίως μονότονη

Re: Γνησίως μονότονη

Re: Γνησίως μονότονη

Μέλη σε σύνδεση