Δύο συνεχείς συναρτήσεις

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: Σάβ Δεκ 23, 2023 11:08 pm Δύο συναρτήσεις και είναι ορισμένες και συνεχείς στο $\mathbb{R}$ . Κάθε μία από

αυτές έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα και η εξίσωση: $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ δεν

έχει πραγματικές ρίζες. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: $f\left( x \right)+g\left( x \right)=0$ έχει μία

τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Εξ υποθέσεως υπάρχουν $a,\, b$ με $f(a)=0=g(b) \, (*)$ . Επίσης, αφού η f-g

δεν έχει ρίζες, σημαίνει ότι διατηρεί το πρόσημό της, το οποίο χωρίς βλάβη μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι θετικό. Είναι λοιπόν $f(a)-g(a) >0, \, f(b)-g(b) >0$ , και άρα από την (*)

, $0-g(a)>0, \, f(b)-0>0$ , δηλαδή f(b)>0>g(a)

Αλλά τότε

και

. Άρα η

μηδενίζεται κάπου στο ενδιάμεσο των $a,\, b$ .

#3

Το σχόλιο δεν προσθέτει κάτι στην λύση αλλά ίσως είναι χρήσιμο αν πρόκειται το θέμα να συζητηθεί στην τάξη δίνοντας μια γεωμετική ερμηνεία.
Συνέπεια των επιχειρημάτων που ανέπτυξε ο Μιχάλης είναι ότι η γραφική παράσταση της μιας από τις δύο συναρτήσεις θα βρίσκεται επάνω από εκείνη της άλλης. Η συνάρτηση $h=\frac{f+g}{2}$ έχει γραφική παράσταση μεταξύ εκείνων των

,

και διατηρεί ίδιες κάθετες αποστάσεις από τις δύο γραφικές παραστάσεις. Συμπεριφέρεται όπως η μεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων. Αφού κάθε μια από τις $\mathcal{C}_f$ , $\mathcal{C}_g$ τέμνει τον x'x

"λογικό" είναι να αναμένουμε ότι αυτό θα συμβεί με την $\mathcal{C}_h$ . Άρα η

έχει ρίζα επομένως και η f+g

(Στο σχήμα η

παριστάνεται με διακεκομμένη γραμμή).

: 2 cont fun.png (28.65 KiB) Προβλήθηκε 1943 φορές

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

#5

άλλο ένα σχόλιο
πρακτικά το σύμβολο $\displaystyle{\ne }$ για συνεχείς $\displaystyle{f }$ γίνεται ανισότητα που δίνει πιο πολλές πληροφορίες

Δύο συνεχείς συναρτήσεις

Δύο συνεχείς συναρτήσεις

Re: Δύο συνεχείς συναρτήσεις

Re: Δύο συνεχείς συναρτήσεις

Re: Δύο συνεχείς συναρτήσεις

Re: Δύο συνεχείς συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση