Ανιαρή με ... ενδιαφέρον

KARKAR · #1

α) Εξετάστε την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ell nx}{x^2}$ , ως προς την μονοτονία .

β) Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{1}f(x)dx$ .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Δεκ 28, 2023 9:11 am α) Εξετάστε την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ell nx}{x^2}$ , ως προς την μονοτονία .

β) Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{1}f(x)dx$ .

α) $\displaystyle f'(x) = - \frac{{x - 2{lnx} + 1}}{{{x^3}}},x > 0$

Θέτω $\displaystyle g(x) = x - 2\ln x + 1,x > 0$ και είναι $\displaystyle g'(x) = \frac{{x - 2}}{x},$ οπότε η

παρουσιάζει για x=2

ελάχιστο,

δηλαδή $\displaystyle g(x) \geqslant 3 - 2\ln 2 > 0.$ Άρα, f'(x)<0,

που σημαίνει ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle (0, + \infty ).$

β) Με παρατυπία(*) σε σχέση με την σχολική ύλη. $\displaystyle {\left( {\frac{{\ln x + 1}}{x}} \right)^\prime } = - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}.$ Άρα,

$\displaystyle \int_{{e^{ - 1}}}^1 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left[ {\ln x + \frac{{\ln x + 1}}{x}} \right]_{{e^{ - 1}}}^1 = ... = 2$

(*) Αλλιώς με παραγοντική ολοκλήρωση.

Ανιαρή με ... ενδιαφέρον

Ανιαρή με ... ενδιαφέρον

Re: Ανιαρή με ... ενδιαφέρον

Μέλη σε σύνδεση