Ευθύ Άθροισμα

stelmarg · #1

Μια ακόμα απορία:

Έστω ο διανυσματικός χώρος Pn(R)

του n*n πινάκων επί του

και

το σύνολο των συμμετρικών n*n

πινάκων , ενώ

το σύνολο των αντισυμμετρικών n*n

πινάκων.
(i) Να δείξετε ότι οι

και

είναι υπόχωροι του Pn(R)

(ii) Δείξε ότι Pn(R)

=

$\bigoplus$

#2

stelmarg έγραψε: Σάβ Ιαν 06, 2024 4:09 pm Μια ακόμα απορία:

Έστω ο διανυσματικός χώρος του n*n πινάκων επί του και το σύνολο των συμμετρικών πινάκων , ενώ το σύνολο των αντισυμμετρικών πινάκων.
(i) Να δείξετε ότι οι και είναι υπόχωροι του
(ii) Δείξε ότι = $U \bigoplus$

Μόνο υπόδειξη γιατί και τα δύο είναι πολύ απλά και θα έπρεπε να μπορείς να τα κάνεις μόνος σου.

ι) $\displaystyle{ (\lambda A + \mu B)^T = \lambda A ^T+ \mu B ^T}$

ii) $A = \dfrac {1}{2} (A+A^T) + \dfrac {1}{2} (A-A^T)$ (προσπάθησε όμως να δεις πώς σκέφτηκα για να βρω την συγκεκριμένη διάσπαση του

)

stelmarg · #3

Ναι κύριε Μιχάλη το κατάλαβα ευχαριστώ!!
γιατί ο $\frac{1}{2}(A+A^t)$ είναι συμμετρικός πίνακας ενώ ο $\frac{1}{2}(A-A^t)$ είναι αντισυμμετρικός πίνακας

#4

stelmarg έγραψε: Δευ Ιαν 08, 2024 2:33 pm Ναι κύριε Μιχάλη το κατάλαβα ευχαριστώ!!
γιατί ο $\frac{1}{2}(A+A^t)$ είναι συμμετρικός πίνακας ενώ ο $\frac{1}{2}(A-A^t)$ είναι αντισυμμετρικός πίνακας

Αυτό που εννοούσα δεν είναι ο έλεγχος ότι οι συγκεκριμένοι πίνακες κάνουν την δουλειά, αλλά πώς τους σκεφτήκαμε.

Ας το δούμε, αν και απλό.

Θέλουμε λοιπόν για δεδομένο

να βρούμε

συμμετρικό και

αντισυμμετρικό (δηλαδή $X^T=X, \, Y^T=-Y$ ) με $A=X+Y,\, (*)$ .

Από την (*)

έχουμε $A^T=(X+Y)^T=X^T+Y^T=X-Y, \, (**)$ .

Με προσθαφαίρεση των (*), (**)

έπεται $X= \dfrac{1}{2}(A+A^T), \, Y= \dfrac{1}{2}(A-A^T)$ , που είναι αυτά που έγραψα.

BAGGP93 · #5

plus: ο μόνος πίνακας που είναι ταυτόχρονα συμμετρικός και αντισυμμετρικός είναι ο μηδενικός (για να δικαιολογηθεί το "ευθύ").

Ευθύ Άθροισμα

Ευθύ Άθροισμα

Re: Ευθύ Άθροισμα

Re: Ευθύ Άθροισμα

Re: Ευθύ Άθροισμα

Re: Ευθύ Άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση