Λόγος και ... λόγος

KARKAR · #1

: Λόγος και ... λόγος.png (16.44 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, είναι $AB=\dfrac{3}{2}AC$ και

σημείο της

, ώστε :

.

Τα ημικύκλια διαμέτρων BC , AS

, τέμνονται στο σημείο

. Αν το τμήμα

προεκτεινόμενο ,

τέμνει την υποτείνουσα

στο σημείο

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TS}{SP}$ , καθώς και την : $\tan \theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 18, 2024 2:28 pm Λόγος και ... λόγος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι $AB=\dfrac{3}{2}AC$ και σημείο της , ώστε : .

Τα ημικύκλια διαμέτρων , τέμνονται στο σημείο . Αν το τμήμα προεκτεινόμενο ,

τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TS}{SP}$ , καθώς και την : $\tan \theta$ .

Θέτω

οπότε $BC=k\sqrt{13}.$ Οι μπλε γωνίες είναι ίσες ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο του

πορτοκαλί ημικυκλίου, ενώ για τον ίδιο λόγο $C\widehat TA=\varphi$ και $C\widehat TA=P\widehat TB$ ως συμπληρωματικές της $C\widehat TP.$

Έτσι τα τρίγωνα STB,ATC

είναι όμοια και $\displaystyle \tan \omega = \frac{{AT}}{{TS}} = 2.$ Εξάλλου, επειδή $P\widehat TB=\varphi,$ η

εφάπτεται στον περίκυκλο του TSB,

και θα είναι $\boxed{P{B^2} = PS \cdot PT = P{S^2} + PS \cdot ST}$ (1)

: Λόγος και... λόγος.png (20.91 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές

Αλλά από νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο PSB

βρίσκω $\displaystyle PB = \frac{{PS\sqrt {13} }}{{\sqrt 5 }}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{ \frac{{TS}}{{SP}} = \frac{8}{5}}$

Tέλος, στο τρίγωνο PSB

είναι:

$\displaystyle \tan \omega + \tan \varphi + \tan \theta = \tan \omega \tan \varphi \tan \theta \Leftrightarrow 2 + \frac{2}{3} + \tan \theta = \frac{4}{3}\tan \theta \Leftrightarrow$ $\boxed{ \tan \theta = 8}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 18, 2024 2:28 pm Λόγος και ... λόγος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι $AB=\dfrac{3}{2}AC$ και σημείο της , ώστε : .

Τα ημικύκλια διαμέτρων , τέμνονται στο σημείο . Αν το τμήμα προεκτεινόμενο ,

τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TS}{SP}$ , καθώς και την : $\tan \theta$ .

Εύκολα προκύπτει η ισότητα γωνιών ίδιου χρώματος.

Με SN//BC

τα

είναι ομοκυκλικά και ισχύει b^2=CN.CT

$\triangle ACT \simeq \triangle TBS \Rightarrow \dfrac{CT}{TB}= \dfrac{AC}{BS} =2=tan\angle PBT$ και $tanx= \dfrac{AC}{c}= \dfrac{2}{3}$

$tan \theta =-tan( \angle PBT+x)=- \dfrac{tan \angle PBT+tanx}{1-tan \angle PBTtanx}$ και με αντικατάσταση $tan \theta =8$

Με CT=2BT

και Π.Θ στο $\triangle BTC \Rightarrow CT=b \sqrt{ \dfrac{13}{5} }$ οπότε

$(1) \Rightarrow CN=b \sqrt{ \dfrac{5}{13} }$ και $\dfrac{CT}{CN}= \dfrac{13}{5}= \dfrac{TP}{PS} \Rightarrow \dfrac{TS}{SP}= \dfrac{8}{5}$

: Λόγος και...λόγος.png (47.86 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές

Λόγος και ... λόγος

Λόγος και ... λόγος

Re: Λόγος και ... λόγος

Re: Λόγος και ... λόγος

Μέλη σε σύνδεση