ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 77η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητέ φίλε Νίκο Δεργιαδέ,
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την 57η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη. Σε ευχαριστoύμε πολύ για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μας και την συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας. Και τώρα συνεχίζουμε την προσπάθειά μας για την 58η απόδειξη.

Αγαπητοί φίλοι,
επιθυμούμε εδώ να σας κάνουμε γνωστό ότι την απόδειξή του αυτή ο φίλος Νίκος Δεργιαδές, την οποία παρουσιάζουμε με το παρακάτω συνημμένο μας 27, μας την έδωσε στο τηλέφωνο, προκειμένου να συμβάλει στην προσπάθειά μας. Ευχές.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[gbaloglou]

Όπως υποσχέθηκα νωρίτερα απόψε αλλού, σκιαγραφώ παρακάτω μία προσέγγιση που ίσως γίνει δεκτή ως η 58η απόδειξη:

Θεωρούμε τρία τυχόντα σημεία , , επί της υπερβολής και παρατηρούμε -- όπως έχει γίνει στο προ καιρού -- ότι υπάρχει τέταρτο σημείο επί της υπερβολής τέτοιο ώστε , , . Αρκεί επομένως να παρατηρήσουμε ότι δοθέντος τυχαίου τριγώνου μπορούμε να τοποθετήσουμε τις τρεις κορυφές του επί της υπερβολής ή, κάτι πιο εύκολο, να τοποθετήσουμε κάποιο όμοιο του τρίγωνο επί της υπερβολής!

Ας δώσω λεπτομέρειες (για αναλυτική προσέγγιση σε αμφότερα τα λήμματα):

Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε ότι οποιοδήποτε τρίγωνο έχει μία πλευρά αρνητικής κλίσης, έστω , και δύο πλευρές θετικών κλίσεων, . Ξεκινάμε από τυχόν σημείο επί του 'θετικού' κλάδου της υπερβολής, φέρουμε απ' αυτό ευθεία κλίσης που τέμνει την υπερβολή στο (θετικός κλάδος), απ' αυτό το δεύτερο σημείο φέρουμε ευθεία κλίσης που τέμνει την υπερβολή στο (αρνητικός κλάδος), και απ' αυτό το τρίτο σημείο φέρουμε ευθεία κλίσης που τέμνει την υπερβολή στο (θετικός κλάδος). Αυτό το τέταρτο σημείο θέλουμε να ταυτίζεται προς το πρώτο, κάτι που συμβαίνει αν και μόνον αν : λόγω των αρχικών συνθηκών είναι πάντοτε δυνατή μία τέτοια επιλογή του αρχικού σημείου -- ειδικά αν παρατηρήσουμε ότι το ούτως επιλεχθέν σημείο βρίσκεται στα δεξιά του σημείου όπου η εφαπτομένη έχει κλίση καθώς

Για την 'ορθοκεντρική' ιδιότητα της υπερβολής παρατηρούμε ότι αν , , , τότε το σημείο ικανοποιεί τις , , .

Χριστός Ανέστη,

Γιώργος Μπαλόγλου

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 28, την 58η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, που αποτελεί και την 40η απόδειξη δικής μου επινόησης.
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί την 59η απόδειξη και σε προσωπικό επίπεδο αναζητώ την 41η.

Χρόνια Πολλά σε όλους και από τη θέση αυτή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 29, την 59η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, που αποτελεί και την 41η απόδειξη δικής μου επινόησης.
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί την 60η απόδειξη και σε προσωπικό επίπεδο αναζητώ την 42η.

Χρόνια Πολλά σε όλους.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[gbaloglou]

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 29, την 59η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, που αποτελεί και την 41η απόδειξη δικής μου επινόησης.
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί την 60η απόδειξη και σε προσωπικό επίπεδο αναζητώ την 42η.

Πολύ ωραία απόδειξη, η οποία πάντως ισχύει απευθείας και για αμβλυγώνιο τρίγωνο! (Ομοίως και για την προηγούμενη (58η) απόδειξη, όπου όμως χρειάζεται λίγη προσοχή στην περίπτωση που ξεκινήσουμε από το ύψος που αντιστοιχεί στην αμβλεία γωνία.)

Γιώργος Μπαλόγλου

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 31, την 60η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, που αποτελεί και την 42η απόδειξη δικής μου επινόησης.
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί την 61η απόδειξη και σε προσωπικό επίπεδο αναζητώ την 43η.

Ευχές.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Όπως υποσχέθηκα νωρίτερα απόψε αλλού, σκιαγραφώ παρακάτω μία προσέγγιση που ίσως γίνει δεκτή ως η 58η απόδειξη:

Θεωρούμε τρία τυχόντα σημεία , , επί της υπερβολής και παρατηρούμε -- όπως έχει γίνει στο προ καιρού -- ότι υπάρχει τέταρτο σημείο επί της υπερβολής τέτοιο ώστε , , . Αρκεί επομένως να παρατηρήσουμε ότι δοθέντος τυχαίου τριγώνου μπορούμε να τοποθετήσουμε τις τρεις κορυφές του επί της υπερβολής ή, κάτι πιο εύκολο, να τοποθετήσουμε κάποιο όμοιο του τρίγωνο επί της υπερβολής!

Ας δώσω λεπτομέρειες (για αναλυτική προσέγγιση σε αμφότερα τα λήμματα):

Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε ότι οποιοδήποτε τρίγωνο έχει μία πλευρά αρνητικής κλίσης, έστω , και δύο πλευρές θετικών κλίσεων, . Ξεκινάμε από τυχόν σημείο επί του 'θετικού' κλάδου της υπερβολής, φέρουμε απ' αυτό ευθεία κλίσης που τέμνει την υπερβολή στο (θετικός κλάδος), απ' αυτό το δεύτερο σημείο φέρουμε ευθεία κλίσης που τέμνει την υπερβολή στο (αρνητικός κλάδος), και απ' αυτό το τρίτο σημείο φέρουμε ευθεία κλίσης που τέμνει την υπερβολή στο (θετικός κλάδος). Αυτό το τέταρτο σημείο θέλουμε να ταυτίζεται προς το πρώτο, κάτι που συμβαίνει αν και μόνον αν : λόγω των αρχικών συνθηκών είναι πάντοτε δυνατή μία τέτοια επιλογή του αρχικού σημείου -- ειδικά αν παρατηρήσουμε ότι το ούτως επιλεχθέν σημείο βρίσκεται στα δεξιά του σημείου όπου η εφαπτομένη έχει κλίση καθώς

Για την 'ορθοκεντρική' ιδιότητα της υπερβολής παρατηρούμε ότι αν , , , τότε το σημείο ικανοποιεί τις , , .

Χριστός Ανέστη,

Γιώργος Μπαλόγλου

Αγαπητέ φίλε Γιώργο,
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την 61η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, με Αναλυτική.
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου και την συνεισφορά σου στην προσπάθειά μου.

Και τώρα συνεχίζουμε την προσπάθειά μας για την 62η απόδειξη.

Πολλές ευχές.


Με αγάπη και εκτίμηση,
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 29, την 59η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, που αποτελεί και την 41η απόδειξη δικής μου επινόησης.
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί την 60η απόδειξη και σε προσωπικό επίπεδο αναζητώ την 42η.

Πολύ ωραία απόδειξη, η οποία πάντως ισχύει απευθείας και για αμβλυγώνιο τρίγωνο! (Ομοίως και για την προηγούμενη (58η) απόδειξη, όπου όμως χρειάζεται λίγη προσοχή στην περίπτωση που ξεκινήσουμε από το ύψος που αντιστοιχεί στην αμβλεία γωνία.)

Γιώργος Μπαλόγλου

Αγαπητέ Γιώργο,
σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια, αλλά και για τη νέα επιτυχή σου προσπάθεια να μας δώσεις και μια δεύτερη πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη την 61η.

Όσο για το θέμα των οξυγώνιων ή αμβλυγώνιων τριγώνων, το έχω αντιμετωπίσει, όπως θα έχεις διαπιστώσει και εσύ, με ενιαίο τρόπο, χρησιμοποιώντας την Πρόταση 5θ(89), του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Για τον λόγο αυτό και δεν ζητώ από τους φίλους να ερευνούν αν οι τρόποι που προτείνουν ισχύουν και για αμβλυγώνια τρίγωνα, αλλά και εγώ δεν ερευνώ τούτο για κάθε έναν νέο δικό μου τρόπο απόδειξης χωριστά,που σε μερικές περιπτώσεις είναι δύσκολος.

Ευχές.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[gbaloglou]

Όπως υποσχέθηκα νωρίτερα απόψε αλλού, σκιαγραφώ παρακάτω μία προσέγγιση που ίσως γίνει δεκτή ως η 58η απόδειξη:

Θεωρούμε τρία τυχόντα σημεία , , επί της υπερβολής και παρατηρούμε -- όπως έχει γίνει στο προ καιρού -- ότι υπάρχει τέταρτο σημείο επί της υπερβολής τέτοιο ώστε , , . Αρκεί επομένως να παρατηρήσουμε ότι δοθέντος τυχαίου τριγώνου μπορούμε να τοποθετήσουμε τις τρεις κορυφές του επί της υπερβολής ή, κάτι πιο εύκολο, να τοποθετήσουμε κάποιο όμοιο του τρίγωνο επί της υπερβολής!

Ας δώσω λεπτομέρειες (για αναλυτική προσέγγιση σε αμφότερα τα λήμματα):

Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε ότι οποιοδήποτε τρίγωνο έχει μία πλευρά αρνητικής κλίσης, έστω , και δύο πλευρές θετικών κλίσεων, . Ξεκινάμε από τυχόν σημείο επί του 'θετικού' κλάδου της υπερβολής, φέρουμε απ' αυτό ευθεία κλίσης που τέμνει την υπερβολή στο (θετικός κλάδος), απ' αυτό το δεύτερο σημείο φέρουμε ευθεία κλίσης που τέμνει την υπερβολή στο (αρνητικός κλάδος), και απ' αυτό το τρίτο σημείο φέρουμε ευθεία κλίσης που τέμνει την υπερβολή στο (θετικός κλάδος). Αυτό το τέταρτο σημείο θέλουμε να ταυτίζεται προς το πρώτο, κάτι που συμβαίνει αν και μόνον αν : λόγω των αρχικών συνθηκών είναι πάντοτε δυνατή μία τέτοια επιλογή του αρχικού σημείου -- ειδικά αν παρατηρήσουμε ότι το ούτως επιλεχθέν σημείο βρίσκεται στα δεξιά του σημείου όπου η εφαπτομένη έχει κλίση καθώς

Για την 'ορθοκεντρική' ιδιότητα της υπερβολής παρατηρούμε ότι αν , , , τότε το σημείο ικανοποιεί τις , , .

Χριστός Ανέστη,

Γιώργος Μπαλόγλου

Αγαπητέ φίλε Γιώργο,
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την 61η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, με Αναλυτική.
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου και την συνεισφορά σου στην προσπάθειά μου.

Αγαπητέ φίλο Νίκο,

σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια -- όπως επίσης ευχαριστώ το και την συνολική σοφία του που με οδήγησαν και στις δύο αποδείξεις μου!

[Ξανακοιτώντας την παρούσα απόδειξη κρίνω ότι η παρακάτω διευκρίνηση θα ήταν ίσως χρήσιμη για κάποιους αναγνώστες: ένας εύκολος τρόπος να δούμε ότι "οποιοδήποτε τρίγωνο (μπορεί να τοποθετηθεί έτσι ώστε να) έχει μία πλευρά αρνητικής κλίσης, έστω , και δύο πλευρές θετικών κλίσεων, " -- λήμμα που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί και αλλού, ας μου επιτραπεί να προτείνω -- είναι να τοποθετήσουμε την κορυφή μιας οξείας γωνίας του στην αρχή των αξόνων και το μεγαλύτερο σκέλος της στο πρώτο τεταρτημόριο αλλά τόσο κοντά στον άξονα των Χ ώστε το άκρο του (η δεύτερη κορυφή δηλαδή) να βρίσκεται πιο κοντά στον άξονα των Χ απ' ότι το άκρο του άλλου σκέλους (η τρίτη κορυφή δηλαδή).]

Γιώργος Μπαλόγλου

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 32, την 62η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, που αποτελεί και την 43η απόδειξη δικής μου επινόησης.
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί την 63η απόδειξη και σε προσωπικό επίπεδο αναζητώ την 44η.

Ευχές.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 34, την 63η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, που αποτελεί και την 44 απόδειξη δικής μου επινόησης.
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί, την 64η απόδειξη και σε προσωπικό επίπεδο αναζητώ την 45η.

Αγαπητοί φίλοι, μετά και την παραπάνω απλή απόδειξη βγαίνει το συμπέρασμα ότι είναι δυνατή η επινόηση και πολλών άλλων αποδείξεων και μάλιστα απλών, για την Πρόταση 1β(4). Σας καλώ λοιπόν σε μια νέα προσπάθεια για την επίτευξη, προς το παρόν, της 64ης πρωτοεμφανιζόμενης απόδειξης.
Πολλές ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
ανέλπιστα πολύ σύντομα, έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 35, την 64η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, που αποτελεί και την 45 απόδειξη δικής μου επινόησης.
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί, την 65η απόδειξη και σε προσωπικό επίπεδο αναζητώ την 46η.

Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
ανέλπιστα πάρα πολύ σύντομα, έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 36, την 65η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, που αποτελεί και την 46η απόδειξη δικής μου επινόησης.
Έτσι, αισίως αναζητάμε πλέον όλοι μαζί, την 66η απόδειξη και σε προσωπικό επίπεδο αναζητώ την 47η.

Ευχές.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
ο φίλος p_gianno, μας μετέφερε Εδώ(όπου υπάρχει και το σχετικό σχήμα), από το διαδίκτυο την παρακάτω απόδειξη:

On Wilkinson's Method of treating the Nine-Points Circle, with Generalizations.
By R. F. MUIRHBAD, M.A., D.Sc

Έστω τργ ABC BY , CZ και τα δύο ύψη που τέμνονται στο Ο. Έστω ότι η ΑΟ τέμνει την την BC στο Χ . Θα δείξουμε ότι ΑΧ κάθετη στην BC.
Αν H,K,L τα μέσα των των BC ,CA ,AB αντιστοίχως
και U,V,W “””””””””””””” OA ,OB,OC “”””””””””
Τότε επειδή UV=1/2 AB=KH και VH=1/2OC=UK το UVHK είναι παραλληλόγραμ-μο με πλευρές παράλληλες προς τις ΑΒ και CO (που είναι κάθετες) άρα είναι ορθογώνιο . Συνεπώς HU και KV είναι ίσες και διχοτομούνται.
Ομοίως WULH ορθογώνιο με τις ίσες διαγωνίους HU , LW να διχοτομούνται.
Συνεπώς KV= LW και διχοτομούνται με αποτέλεσμα να είναι KLVW ορθογώνιο και επομένως οι BC ,AX που είναι παράλληλες προς τις πλευρές του ορθογω-νίου να είναι μεταξύ τους κάθετες.
Συνεπώς τα τρία ύψη συντρέχουν.

Συνημμένα:

Height Concurrency.png [ 9.95 KiB | 586 προβολές ]

Έτσι, η παραπάνω, πρωτοεμφανιζόμενη τουλάχιστον σε εμάς, απόδειξη, παίρνει τον αριθμό 66, οπότε αναζητούμε πλέον την 67η απόδειξη, ενώ προσωπικά αναζητώ την 47η.
Ευχαριστούμε πολύ το φίλο p_gianno, για το ενδιαφέρον του, την ανταπόκρισή του στο κάλεσμά μας και την συνεισφορά του στην προσπάθειά μας.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[p_gianno]

Βάζω το σχήμα της απόδειξης του προηγουμένου μηνύματος

[dimitris pap]

Μία παρατήρηση:
Το λήμμα στο οποίο αναφέρεται ο κ. Βήττας εδώ: http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=50&t=10697

με την απόδειξη που γίνεται με τη χρήση ριζικού άξονα, σε συνδιασμό με το θεώρημα Ceva και Μενελάου δίνει ακόμα μια απόδειξη για το ότι τα ύψη συντρέχουν

Edited!!

[vittasko]

Δημήτρη, αντί για το Λήμμα που λες, εγώ βλέπω να μπαίνει ένα γκολ και ότι το "χέρι του θεού" βοηθάει σ΄αυτό.

Κώστας Βήττας.

[dimitris pap]

Δημήτρη, αντί για το Λήμμα που λες, εγώ βλέπω να μπαίνει ένα γκολ και ότι το "χέρι του θεού" βοηθάει σ΄αυτό.

Κώστας Βήττας.

Ειλικρινά όταν είδα το μήνυμα σας, προσπαθούσα να καταλάβω τι εννοείτε!!
Μέχρι που είδα ότι είχα βάλει λάθος link (από ένα videaki του youtube όπου ο επιθετικός χάνει μια απίστευτη ευκαιρία για goal (http://www.youtube.com/watch?v=roDMPB5H ... re=related)

[ΝΙΚΟΣ]

Βάζω το σχήμα της απόδειξης του προηγουμένου μηνύματος

Φίλε P-gianno,
Σε ευχαριστώ πολύ για τη βοήθειά σου.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Μία παρατήρηση:
Το λήμμα στο οποίο αναφέρεται ο κ. Βήττας εδώ: http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=50&t=10697

με την απόδειξη που γίνεται με τη χρήση ριζικού άξονα, σε συνδιασμό με το θεώρημα Ceva και Μενελάου δίνει ακόμα μια απόδειξη για το ότι τα ύψη συντρέχουν

Edited!!

Φίλε dimitriς pap,
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον στο κυνήγι των αποδείξεων της Πρότασης της σύγκλισης των υψών τριγώνου.

Όσο για την απόδειξη που εσύ προτείνεις, νομίζω ότι ο πιο αρμόδιος και γνώστης του θέματος αυτού είναι ο φίλος Κώστας Βήττας, τον οποίο και παρακαλούμε να επιληφθεί του θέματος και αν προκύψει κάτι, ας μας το στείλει, ώστε να πάρει τη θέση του.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.