ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024

[SmbdTLv]

Καλησπερα. Κατα την γνωμη σας πιστευετε μηπως το θεμα της θεωριας αριθμων και της γεωμετριας λιγοτερο ηταν λιγο υπερβολικο για μαθητες γυμνασιου; Επισης ποια αναμενουμε να ειναι η βαση;

Σίγουρα το θέμα 4 (δεδομένου ότι λύνεται με vieta jumping) είναι υπερβολικό. Απ'ότι γνωρίζω η βάση θα είναι κάπου 1-1.5 θέμα

[Τσιαλας Νικολαος]

Παιδιά κανείς δεν ξέρει την βάση αν δεν διορθωθούν ΟΛΑ τα γραπτά. Περιμένετε λίγο και συνεχίστε το διάβασμα και την προσπάθειά σας.

[Evathiva]

Λύση 4ου θέματος Γυμνασίου:
x²+y²+z²+xy+yz+zx=6xyz→x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz-xy-yz-zx=6xyz→(x+y+z)²=6xyz+xy+yz+zx
(1)
Επειδή (x+y+z)²≥3(xy+yz+zx) (2)
Από την (1) και (2) συνεπάγεται ότι 6xyz+xy+yz+zx≥3(xy+yz+zx)→6xyz≥2(xy+yz+zx)→3xyz≥xy+yz+zx→3≥(1/x)+(1/y)+(1/z) το οποίο αληθεύει για άπειρες τριάδες θετικών αριθμών(δεν είμαι σίγουρη αν είναι αυτή η σωστή λύση)

Εύα, μαθήτρια Β' γυμνασιου

[achilleas]

Λύση 4ου θέματος Γυμνασίου:
x²+y²+z²+xy+yz+zx=6xyz→x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz-xy-yz-zx=6xyz→(x+y+z)²=6xyz+xy+yz+zx
(1)
Επειδή (x+y+z)²≥3(xy+yz+zx) (2)
Από την (1) και (2) συνεπάγεται ότι 6xyz+xy+yz+zx≥3(xy+yz+zx)→6xyz≥2(xy+yz+zx)→3xyz≥xy+yz+zx→3≥(1/x)+(1/y)+(1/z) το οποίο αληθεύει για άπειρες τριάδες θετικών αριθμών(δεν είμαι σίγουρη αν είναι αυτή η σωστή λύση)

Εύα, μαθήτρια Β' γυμνασιου

Όχι, δεν είναι.

Φιλικά,

Αχιλλέας

[kgk]

Σχετικά με το 4ο θέμα του Γυμνασίου:

Παρακαλώ δείτε αν η παρακάτω λύση είναι σωστή, δεν είμαι μαθηματικός οπότε δείξτε επιείκεια!

Γνωρίζουμε ότι υπάρχουν ως λύσεις οι τριάδες
1 1 1
1 3 1
1 3 13

Έστω χ α β (α<β) μία τριάδα που ικανοποιεί την σχέση:


Έχουμε



Η εξίσωση είναι 2βάθμια οπότε


και οι 2 τιμές του χ είναι:
x1, x2 =

Έστω ότι έχουμε την τριάδα 1 1 3
Αν α=1 και β=3 τότε χ1 = 1 και χ2 = 13 δηλαδή

χ 1 3 → 1 1 3 και 13 1 3 :
x1 = = 1 και
x2 = = 13

Ωστόσο αν υπάρχουν γενικά τα α, β και το x1 τότε υπάρχει και το χ2 καθώς:
το (6ab-a-b) είναι θετικός ακέραιος για κάθε τιμή των α,β και
το χ1 = είναι θετικός ακέραιος
και άρα το χ2 =
είναι επίσης θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του χ1

Οπότε ομοίως αν θέσουμε α = 3 και β = 13 τότε παίρνουμε
χ1 = 1 και
χ2 = 217

και αν θέσουμε α = 13 και β = 217 τότε παίρνουμε
χ1 = 3 και
χ2 = 16.693 που ικανοποιούν τη συνθήκη του προβλήματος ως τριάδες.

Συνολικά για κάθε τριάδα χ1 > β > α που ικανοποιούν τη συνθήκη του προβλήματος μπορούμε να βρούμε το χ2 > χ1 που δημιουργεί την τριάδα χ2 χ1 β και επομένως ο αριθμός των τριάδων που μπορούν να κατασκευαστούν είναι άπειρος.

Αν δεν έχω κάνει λάθος οι πρώτες τριάδες είναι:
1 1 1
3 1 1
13 3 1
217 13 3
16.693 217 13
21.717.363 16693 217
2.175.167.643.354 21.717.363 16.693

[achilleas]

Σχετικά με το 4ο θέμα του Γυμνασίου:

Παρακαλώ δείτε αν η παρακάτω λύση είναι σωστή, δεν είμαι μαθηματικός οπότε δείξτε επιείκεια!

...

Η ιδέα είναι σωστή, η λύση έχει κάποιες ελλείψεις για να θεωρηθεί πλήρης (π.χ. γιατί κτλ).

Να επισημάνω ότι δεν ψάχνουμε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης, αλλά να δείξουμε ότι υπάρχουν άπειρες. Οπότε ο στόχος είναι να βρούμε μια λύση - π.χ. ξεκινώντας με την (1,1,1)- και να βρούμε τρόπο να παράξουμε από αυτή μια άλλη, διαφορετική από τις προηγούμενες (όπως γίνεται, π.χ. στο post #11).

Παρεμπιπτόντως, για να καταλήξουμε σε αυτό το συμπέρασμα δεν χρειαζόμαστε ούτε τριώνυμο ούτε τύπους Vieta, για να παράξουμε μια λύση από μια άλλη.

Ναι, είναι δύσκολο πρόβλημα, και ναι, δεν είναι εύκολο να σκεφτεί κάποιος μια πλήρη λύση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

[george visvikis]

Απ'ότι γνωρίζω η βάση θα είναι κάπου 1-1.5 θέμα

Από πού προκύπτει αυτή η γνώση;

[kgk]

Σχετικά με το 4ο θέμα του Γυμνασίου:

Παρακαλώ δείτε αν η παρακάτω λύση είναι σωστή, δεν είμαι μαθηματικός οπότε δείξτε επιείκεια!

...

Η ιδέα είναι σωστή, η λύση έχει κάποιες ελλείψεις για να θεωρηθεί πλήρης (π.χ. γιατί κτλ).

...
Φιλικά,

Αχιλλέας

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση. Προσπαθώντας να κάνω (πιο) πλήρη την λύση:

Σε κάθε υφιστάμενη τριάδα ακεραίων (πχ 1, 1, 1) θεωρούμε ότι
Η διακρίνουσα είναι θετική καθώς:

και επειδή α,β θετικοί ακέραιοι συνεπάγεται ότι
άρα
επομένως και άρα υπάρχουν 2 ακέραιες λύσεις με x1 x2

Εστω χ1 < χ2 Όπως έχουμε πει

και οι 2 τιμές του χ είναι:
x1, x2 =

επειδή ήδη έχουμε δεχτεί ότι κάνοντας τις πράξεις προκύπτει πως και άρα χ1 = (το αρχικό) χ και
άρα τα
είναι μία νέα τριάδα θετικών ακεραίων που ικανοποιεί την ισότητα του προβλήματος και μπορούμε να δημιουργήσουμε άπειρες τέτοιες τριάδες.

Ελπίζω τα παραπάνω να μην είναι λάθος και να μην πλατίασα αν είναι σωστά.

[alex009]

Καλημέρα. Οι λύσεις θα ανακοινωθούν μαζί με τα αποτελέσματα?

[Παπαδόπουλος Κώστας]

Καλημέρα. Οι λύσεις θα ανακοινωθούν μαζί με τα αποτελέσματα?

Λογικά ναι.

[Agiak]

Ξέρει κανείς ποσο περίπου θα είναι η βάση φέτος. Δηλαδή με 7.5 υπάρχουν πιθανότητες?

[Παπαδόπουλος Κώστας]

Ξέρει κανείς ποσο περίπου θα είναι η βάση φέτος. Δηλαδή με 7.5 υπάρχουν πιθανότητες?

Εξαρτάται από το πως τα έχουν πάει οι άλλοι μαθητές της κατηγορίας σου. Εξάλλου, τα αποτελέσματα θα βγουν σε λίγες μέρες. Οπότε λίγη υπομονή...

[achilleas]

Καλημέρα. Οι λύσεις θα ανακοινωθούν μαζί με τα αποτελέσματα?

Δείτε τις ενδεικτικές λύσεις της ΕΜΕ εδώ.

Δείτε, επίσης, τα θέματα του Λυκείου και προτεινόμενες λύσεις σε αυτά στο AoPS εδώ.

[Al.Koutsouridis]

Νομίζω τα θέματα ήταν μια χαρά. Μάλιστα αν είναι και "εγχώριας παραγωγής", δηλαδή όχι από sortlist ή άλλους διαγωνισμούς θα τα χαρακτήριζα πετυχημένα.

Δεν χρειάζεται να τρομάζουμε τους μαθητές με, ότι χρειάζεται π.χ. να ξέρει κανείς Vieta jumping, περίεργες ανισότητες κ.ο.κ Καλώς αν κάποιος τις γνωρίζει, αλλά ένας από τους σκοπούς των διαγωνισμών είναι να δούμε αν ο μαθητής έχει το ταλέντο να ανακαλύψει αυτές τις τεχνικές ή να προβληματιστεί πάνω σε αυτές κατά την λύση και αργότερα στο σπίτι. Να υπερπηδήσει το εμπόδιο με ιδίες δυνάμεις. Κανείς δεν έμαθε κολύμπι κοιτάζοντας πως κολυμπούν οι άλλοι. Πάντα θα εμφανιστούν προβλήματα, που δεν θα μπορούμε να τα αντιστοιχίσουμε στις ήδη υπάρχουσες γνώσεις μας.

Υπάρχουν και μειονεκτήματα στο να έρθει κανείς σε επαφή με "μεγαλύτερα θεωρήματα" νωρίς, χωρίς σωστή παιδαγωγική, διδακτική και μεθοδολογική προσέγγιση υπό την επίβλεψη κατάλληλων διδασκάλων.

Επίσης το να μην μπορώ να λύσω εγώ ένα πρόβλημα δε σημαίνει, ότι είναι απαραίτητα και ακατάλληλο για διαγωνισμό.

Μπορούμε βέβαια να δικαιολογήσουμε ένα μαθητή στην δυσκολία αποδεικτικών ασκήσεων στις μικρές τάξεις (ιδίως γεωμετρία) καθώς η έννοια της απόδειξης δεν διδάσκεται καν στο γυμνάσιο. Υπάρχει, αν δεν κάνω λάθος ως δραστηριότητα, αλλά όχι στην βασική ύλη επί της ουσίας. Αυτό για παράδειγμα δυσκολεύει μια επιτροπή διαγωνισμών στην Ελλάδα, γιατί τα περισσότερα "όμορφα" προβλήματα είναι αποδεικτικά σε αντίθεση με υπολογιστικά (Θαλής, Ευκλείδης Γυμνασίου). Έτσι απότομα στον Αρχιμήδη μικρών μπορεί να χρειαστεί απόδειξη με εις άτοπων, μια αναλλοίωτη κτλ., εισάγοντας έτσι δυσκολία, που είναι δύσκολο να την υπαιρβεί ο μέσος μαθητής.

[Τσιαλας Νικολαος]

Αλέξανδρε τα θέματα του λυκείου ήταν μια χαρά....του γυμνασίου αντιθέτως ήταν το εντελώς αντίθετο κατά την δική μου γνώμη και όχι μόνο....Από εκεί και πέρα απέφυγα να γράψω και μετά την δημοσίευση των λύσεων γιατί θα φαίνεται ότι προσπαθώ να "προσβάλλω" την επιτροπή που αντιθέτως την έχω σε εξαιρετική εκτίμηση... Άλλωστε όπως έγραψα και πιο πάνω, αφού έκρινε ότι αυτά τα θέματα πρέπει να μπουν είναι απολύτως αποδεκτό. Τέλος το τέταρτο των μικρών είναι θεωρία αριθμών τελικά ή αλγεβρικό;

[Al.Koutsouridis]

Τέλος το τέταρτο των μικρών είναι θεωρία αριθμών τελικά ή αλγεβρικό;

Δεν έχει μεγάλη σημασία θα έλεγα. Ναι, είναι αλγεβρικό με κάποια στοιχεία θεωρίας αριθμών ή καλύτερα θεωρίας αριθμών, που λύνεται με αλγεβρικές τεχνικές. Στοιχεία θεωρίας αριθμών με την κλασική έννοια διαιρετότητα π.χ. υπάρχουν και στο τρίτο θέμα. Έτσι κάποια στοιχεία θεωρίας αριθμών εξετάζονται. Δεν είναι μεμπτό να υπάρχουν "μεικτά" θέματα, αντιθέτως προσωπικά τα βρίσκω πιο ενδιαφέροντα.

[Τσιαλας Νικολαος]

Τέλος το τέταρτο των μικρών είναι θεωρία αριθμών τελικά ή αλγεβρικό;

Δεν έχει μεγάλη σημασία θα έλεγα. Ναι, είναι αλγεβρικό με κάποια στοιχεία θεωρίας αριθμών ή καλύτερα θεωρίας αριθμών, που λύνεται με αλγεβρικές τεχνικές. Στοιχεία θεωρίας αριθμών με την κλασική έννοια διαιρετότητα π.χ. υπάρχουν και στο τρίτο θέμα. Έτσι κάποια στοιχεία θεωρίας αριθμών εξετάζονται. Δεν είναι μεμπτό να υπάρχουν "μεικτά" θέματα, αντιθέτως προσωπικά τα βρίσκω πιο ενδιαφέροντα.

Εγώ δεν βλέπω κανένα στοιχείο θεωρίας αριθμών σε αυτό το θέμα... Από εκεί και πέρα εκτός του "προβλήματος" που θα μπορούσε να δημιουργήσει σε παιδιά που έγραφαν, το ακατάλληλο για διαγωνισμό που αναφέρθηκε, ειπώθηκε προφανώς από την εμπειρία μου και κάποια βάση πιθανώς θα έχει. Και αφού ανοίξαμε την συζήτηση, μήπως ξέρεις πόσοι από τους 600 έλυσαν πχ το τρίτο και πόσοι το τέταρτο; Να σου τονίσω λοιπόν ότι και το τρίτο ήταν ακατάλληλο για τον εντελώς ανάποδο λόγο!!!

[Al.Koutsouridis]

Εγώ δεν βλέπω κανένα στοιχείο θεωρίας αριθμών σε αυτό το θέμα... Από εκεί και πέρα εκτός του "προβλήματος" που θα μπορούσε να δημιουργήσει σε παιδιά που έγραφαν, το ακατάλληλο για διαγωνισμό που αναφέρθηκε, ειπώθηκε προφανώς από την εμπειρία μου και κάποια βάση πιθανώς θα έχει. Και αφού ανοίξαμε την συζήτηση, μήπως ξέρεις πόσοι από τους 600 έλυσαν πχ το τρίτο και πόσοι το τέταρτο; Να σου τονίσω λοιπόν ότι και το τρίτο ήταν ακατάλληλο για τον εντελώς ανάποδο λόγο!!!

Πρώτα από όλα ο όρος θεωρία αριθμών είναι ξένος προς έναν μαθητή του γυμνασίου, δεν ξέρει καν τι είναι, οπότε ποιό "πρόβλημα" δημιουργεί αν δεν είναι ή είναι ένα θέμα, θεωρίας αριθμών, δεν το καταλαβαίνω. Δηλαδή είπαμε σε ένα μαθητή πριν την εξέταση το τέταρτο θα είναι θεωρίας αριθμών και εν τέλη δεν ήταν και μπερδεύτηκε και έψαχνε πως θα εφαρμόσει π.χ. το μιρκό θεώρημα του Φερμάτ; Και στο κάτω, κάτω αν δώσουμε σε κάποιον ένα βιβλίο θεωρίας αριθμών θα μας πει οτι είναι βιβλίο ανάλυσης, μιγαδικής ανάλυσης, άλγεβρας ...

Το σκεπτικό σας δεν αμφιβάλλω ότι έχει κάποια βάση, αλλά δεν το εκθέσατε αναλυτικά για να κατανοηθεί η ένσταση ως προς το θέμα. Ή τουλάχιστον εγώ δεν το κατάλαβα. Αν είναι η δυσκολία, τότε από μόνη της δεν είναι αρκετή νομίζω να χαρακτηρίσει ένα θέμα.

Τα στατιστικά δεν τα έχω, αν τα έχετε εσείς ή επιτροπή μπορεί να τα μοιραστεί και να μιλήσουμε πάνω σε αυτά. Εγώ αναφέρθηκα στα θέματα κάθε αυτά χωρίς εκ το προτέρων στατιστική γνώση.

[Τσιαλας Νικολαος]

Τώρα νομίζω ότι προσπαθώ να αποδείξω τα προφανή! Ναι λοιπόν τα παιδιά που πάνε δουλεμένα γνωρίζουν ότι τα θέματα είναι 4. Ένα αλγεβρικό, ένα θεωρίας αριθμών, ένα γεωμετρίας και ένα λογικής. Οπότε έχοντας ένα παιδί δει τα πρώτα τρία και με δεδομένο ότι το τέταρτο μιλάει για θετικούς ακέραιους το παγιδεύει σε λάθος σκέψεις....ειδικά δε αν αυτό αποδεδειγμένα ΔΕΝ λύθηκε από κανέναν. Όπως και να έχει καλα αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά!

[Al.Koutsouridis]

Τώρα νομίζω ότι προσπαθώ να αποδείξω τα προφανή! Ναι λοιπόν τα παιδιά που πάνε δουλεμένα γνωρίζουν ότι τα θέματα είναι 4.

Την έννοια δουλεμένο παιδί δεν την καταναώ. Για τους σκοπούς του διαγωνισμού

"Ο σκοπός των διαγωνισμών της ΕΜΕ είναι η διάδοση και καλλιέργεια της Μαθηματικής σκέψης, η ανάδειξη νέων μαθηματικών ταλέντων και η προώθησή τους στα πλαίσια των καθιερωμένων διεθνών μαθηματικών διαγωνισμών"

δεν έχει σημασία αν είναι ή οχι δουλεμένο ένα παιδί. Αντιθέτος, τα θέματα και ο διαγωνισμός ο ίδιος, θα πρέπει να είναι "δημοκρατικά", δηλαδή στο βαθμό του δυνατού να εκμηδενίζεται το πλεονέκτημα, που πιθανόν να έχει ένας δουλεμένος μαθητής. Αν το τέταρτο θέμα το πέτυχε αυτό, έστω και μη λύνοντάς το κανένας, τότε μπορεί να θεωρηθεί καλό θέμα.

Ένα αλγεβρικό, ένα θεωρίας αριθμών, ένα γεωμετρίας και ένα λογικής. Οπότε έχοντας ένα παιδί δει τα πρώτα τρία και με δεδομένο ότι το τέταρτο μιλάει για θετικούς ακέραιους το παγιδεύει σε λάθος σκέψεις....ειδικά δε αν αυτό αποδεδειγμένα ΔΕΝ λύθηκε από κανέναν. Όπως και να έχει καλα αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά!

Στον κανονισμό των διαγωνισμών δεν βλέπω (σε αυτό που υπάρχει στην σελίδα της Ε.Μ.Ε.) να υπάρχει κάποιος κανόνας για τα θέματα: ένα λογικής, ένα θεωρίας αριθμών κτλ. Καλό να είναι έτσι, για ισορροπία των γνώσεων και των διαφορετικών δυνατοτήτων, που μπορεί να ξεδιπλώσει ο κάθε μαθητής, αλλά δεν είναι αυτοσκοπός.

Για παράδειγμα, στα πλαίσια του "...διάδοση και καλλιέργεια της Μαθηματικής σκέψης" θα μπορούσε η επιτροπή να βάλει δυο γεωμετρικά προβλήματα γιατί θεωρεί, ότι το Υπουργείο Παιδείας υποβαθμίζει αυτό το τομέα των μαθηματικών και ο διαγωνισμός αντιθέτως, θέλει να δώσει βάρος στη σημασία της γεωμετρίας. Δεν θα ήταν κάτι παράλογο.

Επίσης, το παγιδεύεται σε λάθος σκέψεις είναι λίγο θολό σε μένα. Ένα πρόβλημα είναι άγνωστο εξ αρχής, μπορεί κανείς να παγισευτεί σε οποιοδήποτε θέμα, ανάλογα με τις γνώσεις του και τις δυνατότητές του.