Ανισότητα

mick7 · #1

Εαν για τους μη αρνητικούς αριθμούς x,y,z

ισχύει $x+y+z=2\sqrt{xyz}$ δείξτε ότι

$yz\geq y+z$

#2

mick7 έγραψε: Τρί Φεβ 27, 2024 2:25 pm Εαν για τους μη αρνητικούς αριθμούς ισχύει $x+y+z=2\sqrt{xyz}$ δείξτε ότι

$yz\geq y+z$

Έχουμε $x+yz\geq 2\sqrt{x(yz)}=x+y+z$ , απ'όπου έπεται το συμπέρασμα.

Al.Koutsouridis · #3

mick7 έγραψε: Τρί Φεβ 27, 2024 2:25 pm Εαν για τους μη αρνητικούς αριθμούς ισχύει $x+y+z=2\sqrt{xyz}$ δείξτε ότι

$yz\geq y+z$

Η εξίσωση, που ικανοποιούν οι αιρθμοί μπορεί να γραφεί ως $x+y+z=2\sqrt{yz} \sqrt{x}$ . Θέτουμε $t=\sqrt{x}$ και η εξίσωση γίνεται $t^2-2\sqrt{yz}t+y+z=0$ . Εφόσον υπάρχουν t,y,z

που την ικανοποιούν, η διακρίνουσά της θα είναι μη αρνητική. Δηλαδή θα πρέπει να ισχύει $D= (2\sqrt{yz})^2-4(y+z) \geq 0 \Rightarrow yz \geq y+z$ .

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση