Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#41

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 09, 2023 1:24 pm
(Για Β' Λυκείου)

Άσκηση 11 Δείξτε ότι δεν υπάρχει 1-1 συνάρτηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε $x \in \mathbb R$ .

Θέτουμε $\displaystyle{x=log2}$ . Τότε $\displaystyle{f(2^{log2})+f(3^{log2})=1}$ , (1)

Θέτουμε $\displaystyle{x=log3}$ . Τότε: $\displaystyle{f(2^{log3})+f(3^{log3})=1\Rightarrow f(3^{log2})+f(3^{log3})=1}$ , (2)

Από (1) , (2) έχουμε:

$\displaystyle{f(2^{log2})+f(3^{log2})=f(3^{log2})+f(3^{log3}) \Rightarrow f(2^{log2})=f(3^{log3})}$

Και αφού η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ , παίρνουμε $\displaystyle{2^{log2}=3^{log3}\Rightarrow log2^{log2}=log3^{log3}\Rightarrow}$

$\displaystyle{log2 .log2 =log3 .log3\Rightarrow (log2)^2 =(log3)^2\Rightarrow |log2|=|log3|\Rightarrow log2 =log3\Rightarrow 2=3}$

που είναι αδύνατο και άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

#42

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 09, 2023 1:24 pm
Άσκηση 11 Δείξτε ότι δεν υπάρχει 1-1 συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε $x \in \mathbb R$ .

Στο ίδιο μήκος κύματος αλλά πιο απλά: Για έχουμε $f(2)+f(3)=1\, (*)$ .

Επιλέγουμε τώρα τέτοιο ώστε $2^{x_0}=3, \, (**)$ . Tότε για παίρνουμε $f(3)+ f(3^{x_0}) =1$ που με σύγκριση με την δίνει
$f(2) = f(3^{x_0})$ .

Για συνάρτηση δίνει $3^{x_0} = 2$ , οπότε από την έχουμε $3^{x_0^2} = 2^{x_0} = 3$ , και άρα $x_0=\pm 1$ . Aυτό όμως αντιβαίνει στην . Και λοιπά.

#43

Από λάθος μου έσβησα την Άσκηση 12, που τώρα δεν θυμάμαι ποια ήταν. Αν την θυμηθώ θα την ξαναγράψω. Ζητώ συγνώμη.

#44

Το θυμάμαι Μιχάλη, το πρόβλημα που τότε είχε δημιουργηθεί.
Οι μαθητές τα τελευταία χρόνια δεν διδάσκονται την ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ, οπότε αν κάποιος είχε την ιδέα να θέσει
στην θέση του $\displaystyle{x}$ κάτι άλλο, όπως συχνά κάνουμε σε τέτοιου είδους ασκήσεις , τότε θα διαπίστωνε ότι δεν είναι
δυνατόν να υπάρχει τέτοια συνάρτηση και είναι πολύ φυσιολογικό να σκεφτεί ότι τους έχει δοθεί λάθος άσκηση.
Το ερώτημα που είχε τεθεί τότε, ήταν: Τι μονάδες θα έπαιρνε ο συγκεκριμένος μαθητής; Είχαν δοθεί πολλές μάχες
για την απάντηση σε αυτό το ερώτημα.

Ας δούμε τώρα μια πιθανή αντιμετώπιση του θέματος που θα είχε κάνει κάποιος υποψήφιος: (αντί του $\displaystyle{e}$ , έχουμε το $\displaystyle{2}$ ,
που δεν αλλάζει κάτι στην διαδικασία), (τυχαία η πορεία, σίγουρα υπάρχουν και συντομότερες αν το ψάξουμε)

Θέτουμε $\displaystyle{x=y=0}$ και βρίσκουμε $\displaystyle{f(0)=f(0)+f(0)\Rightarrow f(0)=0}$

Θέτουμε τώρα όπου $\displaystyle{y}$ το $\displaystyle{- x}$ και έχουμε:

$\displaystyle{f(0)=2^x f(- x) + 2^{-x} f(x)-x^2 \Rightarrow 2^x f(-x) +2^{-x} f(x) =x^2}$ , (Α) , και θέτοντας $\displaystyle{x=2}$ σε αυτήν, έχουμε:

$\displaystyle{4f(-2)+\frac{1}{4} f(2)=4}$ , (1)

Στη συνέχεια θέτουμε στην αρχική όπου $\displaystyle{y}$ το $\displaystyle{- 2x}$ και παίρνουμε:

$\displaystyle{f(- x)=2^x f(-2x) + 2^{- 2x} f(x) -2x^2}$ , και έτσι η (Α), γράφεται:

$\displaystyle{2^x . [2^x f(-2x)+2^{-2x} f(x) -2x^2 ]+2^{-x} f(x) = x^2 \Rightarrow 2^{2x}f(-2x) +2^{-x}f(x) -2^{x+1}.x^2 +2^{-x}f(x)=x^2 \Rightarrow}$

$\displaystyle{2^{2x}f(-2x)+2.2^{-x} f(x)- 2^{x+1}.x^2 =x^2}$ , και θέτοντας $\displaystyle{x=1}$ σε αυτήν, παίρνουμε:

$\displaystyle{4f(-2)+f(1) =5}$ , (2).

Τέλος, θέτοντας στην αρχική $\displaystyle{x=y=1}$ , παίρνουμε:

$\displaystyle{f(2)=2f(1)+2f(1)+1\Rightarrow f(2)=4f(1)+1}$ , οπότε λόγω αυτής, η (1) γράφεται:

$\displaystyle{4f(-2) +\frac{1}{4} .[4f(1)+1]=4 \Rightarrow 4f(-2)+f(1) +\frac{1}{4}=4\Rightarrow 4f(-2)+f(1)=\frac{15}{4}}$ .

Η σχέση αυτή που καταλήξαμε σε συνδυασμό με την (2) καταλήγουν σε άτοπο, άρα τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει.

#45

.
Άσκηση 13 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με ${\color {red}f(x)f(y) } +f(x+y)+xy=0$ , για κάθε $x,\, y, \in \mathbb R$ .

Έκανα τυπογραφική διόρθωση: Αντί που είχα, το σωστό είναι .
Συγνώμη για την ταλαιπωρία. Ευχαριστώ τον Κώστα - βλέπε παρακάτω - για την επισήμανση.

stranger · #46

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 06, 2024 10:05 pm
.
Άσκηση 13 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε $x,\, y, \in \mathbb R$ .

Μιχάλη είναι πολύ απλή.
Θέτοντας και ελεύθερο παίρνουμε ότι η είναι η μηδενική συνάρτηση(το βλέπουμε αυτό δείχνοντας πρώτα ότι θέτοντας ).
Όμως η μηδενική συνάρτηση δεν ικανοποιεί την συγκεκριμένη συναρτησιακή εξίσωση.

stranger · #47

#48

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2024 12:11 am

Μιχάλη είναι πολύ απλή.
Θέτοντας και ελεύθερο παίρνουμε...

Κώστα έχεις δίκιο. Είχα τυπογραφικό σφάλμα στην Άσκηση 13 που την ... σκότωσε. Τώρα έκανα την διόρθωση, δηλαδή αντί για f(xy)

το σωστό είναι f(x)f(y)

.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ τον Κώστα, και συγνώμη που σας ταλαιπώρησα.

abfx · #49

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 06, 2024 10:05 pm
Άσκηση 13 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με ${\color {red}f(x)f(y) } +f(x+y)+xy=0$ , για κάθε $x,\, y, \in \mathbb R$ .

Ονομάζω

τη δοσμένη συνθήκη. Έστω προς άτοπο ότι υπάρχει τέτοια

. Θέτω $k=f(1) \in \mathbb{R}$ .

$P(1,1): k^2+f(2)+1=0 \implies f(2)=-k^2-1$

$P(1,2): k(-k^2-1)+f(3)+2=0 \implies f(3)=k^3+k-2$

$P(1,3): k(k^3+k-2)+f(4)+3=0 \implies f(4)=-k^4-k^2+2k-3$

$P(2,2): (k^2+1)^2+f(4)+4=0 \implies f(4)=-k^4-2k^2-5$

Εξισώνοντας τις δύο τελευταίες $f(4)=f(4) \implies k^2+2k+2=0 \implies 1\leq (k+1)^2+1=0$ , άτοπο.

#50

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 06, 2024 10:05 pm
.
Άσκηση 13 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συναρτήση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με ${\color {red}f(x)f(y) } +f(x+y)+xy=0$ , για κάθε $x,\, y, \in \mathbb R$ .

Μία λύση στο ίδιο μήκος κύματος αλλά με βάση λίγο διαφορετική ιδέα.

H δίνει , οπότε ή . Θα αποκλείσουμε και τα δύο.

Αν τότε το $x=0, \,y$ ελεύθερο δίνει , που όμως απορρίπτεται αφού η μηδενική συνάρτηση δεν ικανοποιεί την σχέση. Μένει η . Mε αυτή την υπόθεση η αρχική δίνει και ειδικά

$\boxed {f(1)f(-1)=2}$ και $\boxed { f(2)f(-2)=5 }$ .

Eπίσης από τις και παίρνουμε αντίστοιχα

και $f(-2)f(1)= 2-f(-1)\, (*)$ . Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε

που από τις γράφεται

$5\cdot 2 = 4 - 2(f(1)+f(-1)) +2$ οπότε $\boxed {f(1)+f(-1) =-2}$ .

H τελευταία με την μας λέει ότι τα $f(1),\, f(-1)$ είναι ρίζες της , που όμως δεν έχει πραγματικές ρίζες. Και λοιπά.

Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Μέλη σε σύνδεση