Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

#1

Ποια η σχέση των δύο εικονιζόμενων καμπύλων;

[Ελεύθερο θέμα ... προς ανάπτυξη! (Διορθώθηκε λαθάκι...)]

: έλλειψη-τριτοβάθμιας.gif (14.84 KiB) Προβλήθηκε 3448 φορές

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Μια απόπειρα!

ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ
Το σχήμα υπονοοεί πως έχει μορφή P(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)

με

(

αν και δεν έχει ιδιαίτερη σημασία η ακριβής τιμή για την προσέγγιση που θα ακολουθήσουμε).
Η P(x)

παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στις θέσεις $x_{\pm}=2\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

ΕΛΛΕΙΨΗ
Έστω a,b,c

οι συνήθεις παράμετροι της έλλειψης.
Ο μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει άκρα τα σημεία $A^\prime(1,3),A(3,1)$ οπότε $a=\sqrt{2}$ .
Μια εξίσωση για την έλλειψη μπορούμε να αποκτήσουμε θεωρώντας ότι αυτή προκύπτει με στροφή -45^o

και μεταφορά κατά μήκος του διανύσματος $\{2,2\}$ της έλλειψης $\frac{X^2}{2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$
Θέτοντας $\begin{cases}X=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-y)\\Y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y-4)\end{cases}$ και $F(x,y)=\frac{X(x,y)^2}{2}+\frac{Y(x,y)^2}{b^2}$ η εξίσωση της έλλειψης είναι F(x,y)=1

.
Τα δυο σημεία της έλλειψης στα οποία οι εφαπτομένες της είναι παράλληλες με τον $x^\prime x$ έχουν τετμημένες αντίστοιχα ίσες με τις θέσεις τοπικών ακροτάτων της τριτοβάθμιας

οπότε θα έχουμε τα συστήματα $\begin{cases}\partial_x F(x_{\pm},y)&=0\\F(x_{\pm},y)&=1\end{cases}$ . Επειδή 0<b<a

βρίσκουμε $b=\sqrt{\frac{2}{3}}$ οπότε η έλλειψη έχει εξίσωση y^2 + x y - 6y + x^2 - 6x + 11 = 0

ΣΥΝΕΧΕΙΑ...
Αφού το θέμα χαρακτηρίστηκε ως ελεύθερο, λαμβάνω το θάρρος να προτείνω μια συνέχειά του... (Η έλλειψη της τριτοβάθμιας ΙΙ).
Ας υποθέσουμε ότι k=1

, η έλλειψη έχει κέντρο το (2,2)

, ο μεγάλος άξονας είναι παράλληλος στην y=-x

, τα σημεία επαφής των παράλληλων με τον άξονα $x^\prime x$ εφαπτομένων της έλλειψης έχουν τετμημένες $x=2\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ , ενώ το μήκος του μεγάλου άξονα ας είναι πλέον μεταβλητό.
Να υπολογιστεί το supremum του μεγάλου άξονα υπό τη συνθήκη η έλλειψη να μην έχει κοινά σημεία με την τριτοβάθμια όπως ακριβώς ισχύει στο δοθέν αρχικό σχήμα.

#3

Ιάσων υποθέτω ζητάς μια 'μέγιστη' έλλειψη με γνωστό κέντρο, γνωστή διεύθυνση μεγάλου άξονα και γνωστές τετμημένες των σημείων επαφής των οριζόντιων εφαπτομένων: ναι είναι και αυτό ένα ενδιαφέρον ερώτημα, που μας πάει όμως αλλού, μία 'απλοϊκή' ερώτηση -- προς όλους -- είναι "τι γίνεται με τις κατακόρυφες εφαπτόμενες;"

#4

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Απρ 19, 2024 1:19 am
Ιάσων υποθέτω ζητάς μια 'μέγιστη' έλλειψη με γνωστό κέντρο, γνωστή διεύθυνση μεγάλου άξονα και γνωστές τετμημένες των σημείων επαφής των οριζόντιων εφαπτομένων: ναι είναι και αυτό ένα ενδιαφέρον ερώτημα, που μας πάει όμως αλλού, μία 'απλοϊκή' ερώτηση -- προς όλους -- είναι "τι γίνεται με τις κατακόρυφες εφαπτόμενες;"

Φέρ(ν)ω τις κατακόρυφες εφαπτόμενες ... προς πιθανή επίλυση του γρίφου:

: κατακόρυφες-εφαπτόμενες.png (23.93 KiB) Προβλήθηκε 3017 φορές

#5

Μια πρώτη απάντηση, σχόλια κλπ ευπρόσδεκτα:

: 3-6-τομές.png (25.85 KiB) Προβλήθηκε 2882 φορές

#6

Κάθε σημείο (p,q)

επί της έλλειψης αντιστοιχεί σε σημεία (p,f(p)), (q,f(q))

επί της τριτοβάθμιας y=f(x)

με

και αντίστροφα. Από αυτό έπονται πολλά και διάφορα (που ίσως συζητήσω εκτενέστερα άλλη φορά), η εξίσωση της έλλειψης για παράδειγμα: από την (p-a)(p-b)(p-c)=(q-a)(q-b)(q-c)

λαμβάνουμε p^2+pq+q^2-(a+b+c)p-(a+b+c)q+ab+bc+ca=0.

Έμπνευση μου για τα παραπάνω ήταν το πρόβλημα της μπίλιας όπως παρουσιάστηκε από τον Αλέξανδρο Συγγελάκη στο πρόσφατο συνέδριο του Καλαμαρί (4:28:45-4:37:15).

Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

Re: Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

Re: Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

Re: Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

Re: Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

Re: Η έλλειψη της τριτοβάθμιας

Μέλη σε σύνδεση