Παραμετρική ανίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες η ανίσωση

$2\sqrt{x^2+324} -f(x) \geq \dfrac{x^2+324}{f(x)-a} -a$ έχει μοναδική λύση, όπου

$f(x)=\sqrt{g^2(x)-400}$ , $g(x)= 19+2\cos 2x +4\cos x$ .

vgreco · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2024 4:53 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η ανίσωση

$2\sqrt{x^2+324} -f(x) \geq \dfrac{x^2+324}{f(x)-a} -a$ έχει μοναδική λύση, όπου

$f(x)=\sqrt{g^2(x)-400}$ , $g(x)= 19+2\cos 2x +4\cos x$ .

Είναι:

$\displaystyle{\bullet \ g(x) = 19+2\cos 2x +4\cos x = 4 \cos^2 x + 4\cos x + 17 = \left( 2\cos x + 1 \right )^2 + 16, \qquad x \in \mathbb{R}}$

$\displaystyle{\bullet \ g^2(x) = (2\cos x + 1)^4 + 32 (2\cos x + 1)^2 + 256, \qquad x \in \mathbb{R}}$

Θέτω τους απαραίτητους περιορισμούς:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \begin{cases} g^2(x) \ge 400 \\ f(x) \ne a \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} (2\cos x + 1)^4 + 32 (2\cos x + 1)^2 - 144 \ge 0 \\ f(x) \ne a \end{cases} \Leftrightarrow \ \ldots\ldots \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x \in \biggl[ 2k\pi - \dfrac{\pi}{3}, 2k\pi + \dfrac{\pi}{3} \biggr], \quad k \in \mathbb{Z} \\ f(x) \ne a \end{cases} \end{aligned}\\ }$

Η προς λύση εξίσωση, τώρα, ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{ \begin{aligned} 2\sqrt{x^2 + 324} - f(x) \geq \dfrac{x^2 + 324}{f(x) - a} - a &\Leftrightarrow \dfrac{\Bigl[ f(x) - a - \sqrt{x^2 + 324} \Bigr]^2}{f(x) - a} \le 0 \\ &\Leftrightarrow \bigl[ f(x) - a \bigr]\Bigl[ f(x) - a - \sqrt{x^2 + 324} \Bigr]^2 \le 0 \\ &\Leftrightarrow f(x) < a \text{ \textgreek{ή} } f(x) = a + \sqrt{x^2 + 324} \end{aligned} }$

Επειδή η

είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, η εξίσωση f(x) < a

αποκλείεται να έχει ακριβώς μία λύση για οποιαδήποτε τιμή του

. Πρέπει δηλαδή:

$\displaystyle{ f(x) = a + \sqrt{x^2 + 324} \quad (1) }$

Παρατηρώ όμως το εξής, ότι δηλαδή επειδή η

είναι άρτια, αν η (1)

αληθεύει για κάποιο $x \ne 0$ που πληροί τους ως άνω περιορισμούς, οπωσδήποτε θα αληθεύει και για το

(το οποίο επίσης θα ικανοποιεί τους περιορισμούς αυτούς). Επομένως είναι x = 0

(λύση αποδεκτή), και έτσι:

$\displaystyle{ (1) \overset{x \; = \; 0 \;}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} a = f(0) - 18 \Leftrightarrow a = \sqrt{g^2(0) - 400} - 18 \Leftrightarrow \boxed{a = -3} }$

Al.Koutsouridis · #3

vgreco έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2024 6:14 pm

Επειδή η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, η εξίσωση αποκλείεται να έχει ακριβώς μία λύση για οποιαδήποτε τιμή του .

Να ευχαριστήσω τον vgreco για την λύση. Σε αυτό το φάκελο υποτίθεται, ότι ακόμα δεν ξέρουμε την έννοια της συνέχειας. Αλλά και αν την ξέρουμε, νομίζω θέλει λίγο παραπάνω εξήγηση αυτό το σημείο.

vgreco · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2024 7:21 pm

vgreco έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2024 6:14 pm

Επειδή η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, η εξίσωση αποκλείεται να έχει ακριβώς μία λύση για οποιαδήποτε τιμή του .
Να ευχαριστήσω τον vgreco για την λύση. Σε αυτό το φάκελο υποτίθεται, ότι ακόμα δεν ξέρουμε την έννοια της συνέχειας. Αλλά και αν την ξέρουμε, νομίζω θέλει λίγο παραπάνω εξήγηση αυτό το σημείο.

Ίσως χάνω κάτι - δε βλέπω λύση εντός φακέλου.

Αυτό που είχα στο μυαλό μου είναι το εξής: Δείχοντας πως η

είναι συνεχής και περιοδική, προκύπτει από το γεγονός πως το πεδίο ορισμού της είναι ένωση διαστημάτων της μορφής $\biggl[ 2k\pi - \dfrac{\pi}{3}, 2k\pi + \dfrac{\pi}{3} \biggr], \quad (k \in \mathbb{Z})$ ότι έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή (έστω

,

αντίστοιχα).

Αν $a \le m$ τότε η δεν έχει λύση.
Αν , το σύνολο $[m, M] \cap [m, a)$ έχει άπειρα στοιχεία και από Θ.Ε.Τ. προκύπτει πως η έχει άπειρες λύσεις.

Al.Koutsouridis · #5

vgreco έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2024 11:25 pm

Ίσως χάνω κάτι - δε βλέπω λύση εντός φακέλου.

Μάλλον έχεις δίκιο, ίσως καλύτερα να μεταφερθεί στους φακέλους της Γ' Λύκείου. Αυτό που είχα υπόψη είναι το εξής:

Όλη η έκφραση, ως συνάρτηση του

, στο αριστερό μέλος της ανίσωσης $\dfrac{\Bigl[ f(x) - a - \sqrt{x^2 + 324} \Bigr]^2}{f(x) - a} \le 0$ είναι άρτια. Οπότε για x=0

γίνεται

$\dfrac{(a+3)^2}{15-a} \leq 0$ , με λύσεις a =-3

ή

.

Για

βρίσκουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f(x)=\sqrt{g^2(x)-400}$ , όπου

$u=g(x) = 19+2\cos 2x +4\cos x = 4 \cos^2 x + 4\cos x + 17 = \left( 2\cos x + 1 \right )^2 + 16$ , θέτουμε $t=\cos x$ , $t \in [-1,1]$ και

Το σύνολο τιμών $A_{u}$ της u=(2t+1)^2+16

ως κομμάτι παραβολής είναι $A_{u}=[ 16, 25]$ . Η συνάρτηση $y=f(x)=\sqrt{g^2(x)-400$ έχει το ίδιο σύνολο τιμών με την συνάρτηση $y=\sqrt{u^2-400}$ για $u \in [20, 25]$ , εφόσον η συνάρτηση $y=\sqrt{u^2-400}$ ορίζεται για $u \in (-\infty, -20] \cup [20, +\infty)$ και η u=g(x)

παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος [16,25]

.

Η ελάχιστη τιμή της $y=\sqrt{u^2-400}$ στο διάστημα [20,25]

είναι 0 και η μέγιστη

. Οπότε το σύνολο τιμών της

είναι, $A_{f} = [0,15]$ .

Για a >15

η ανίσωση $\dfrac{\Bigl[ f(x) - a - \sqrt{x^2 + 324} \Bigr]^2}{f(x) - a} \le 0$ αληθεύει για όλα τα

του πεδίου ορισμού της f(x)

, που είναι $x \in \biggl[ 2k\pi - \dfrac{\pi}{3}, 2k\pi + \dfrac{\pi}{3} \biggr] , k \in \mathbb{Z}$ , δηλαδή άπειρα

.

Για

είναι

, οπότε θα πρέπει $f(x)+3-\sqrt{x^2+324}=0 \Rightarrow f(x)=\sqrt{x^2+324}-3$ .

Εφόσον $A_{f}=[0,15]$ είναι, $f(x) \leq 15$ και επειδή $\sqrt{x^2+324}-3 \geq 15$ καταλλήγουμε στο σύστημα

$f(x)=15, \quad \sqrt{x^2+324}-3 = 15 \Leftrightarrow x=0$ . Δηλαδή για a=-3

έχουμε μοναδική λύση.

mathematica.gr

Παραμετρική ανίσωση

Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση