Ρητή ανίσωση με απόλυτο

Al.Koutsouridis · #1

Να λύσετε την ανίσωση

$\dfrac{5}{6-3\sqrt{6-x-x^2}} - \dfrac{1}{x+1} > \dfrac{1}{1+|x+1|}$ .

vgreco · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 17, 2022 12:19 am
Να λύσετε την ανίσωση

$\dfrac{5}{6-3\sqrt{6-x-x^2}} - \dfrac{1}{x+1} > \dfrac{1}{1+|x+1|}$ .

Θέτοντας τους απαραίτητους περιορισμούς:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} &x + 1 \ne 0 \\[0.05in] &6 - 3\sqrt{6 - x - x^2} \ne 0 \\[0.05in] &6 - x - x^2 \ge 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &x \ne -1 \\[0.05in] &x^2 + x - 2 \ne 0 \\[0.05in] &x \in [-3, 2] \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \boxed{x \in \bigl[-3, 2 \bigr] - \bigl\{ -2, -1, 1\bigr\}} }$

ισοδύναμα γράφω:
$\displaystyle{ \begin{aligned} \dfrac{5}{6 - 3\sqrt{6 - x - x^2}} - \dfrac{1}{x + 1} > \dfrac{1}{1 + |x + 1|} &\Leftrightarrow \dfrac{5 \Bigl(6 + 3\sqrt{6 - x - x^2} \Bigr)}{36 - 54 + 9x + 9x^2} > \dfrac{1}{1 + |x + 1|} + \dfrac{1}{x + 1} \\[0.1in] &\Leftrightarrow \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{2 + \sqrt{6 - x - x^2}}{x^2 + x - 2} > \dfrac{1}{1 + |x + 1|} + \dfrac{1}{x + 1} \\[0.1in] &\Leftrightarrow \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{2 + \sqrt{(2 - x)(x + 3)}}{(x + 2)(x - 1)} > \dfrac{1}{1 + |x + 1|} + \dfrac{1}{x + 1} \quad (1) \end{aligned} }$

Διακρίνω περιπτώσεις:

Για $2 \ge x > -1$ με $x \ne 1$ :

$\displaystyle{ \begin{aligned} (1) \Leftrightarrow \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{2 + \sqrt{(2 - x)(x + 3)}}{(x + 2)(x - 1)} > \dfrac{1}{x +2} + \dfrac{1}{x + 1} &\Leftrightarrow \dfrac{5(x + 1) \Bigl[ 2 + \sqrt{(2 - x)(x + 3)} \Bigr]}{3(x + 2)(x - 1)(x + 1)} > \dfrac{6x^2 + 3x - 9}{3(x + 2)(x - 1)(x + 1)} \\[0.1in] &\Leftrightarrow \dfrac{\overbrace{5(x + 1) \sqrt{(2 - x)(x + 3)} \;}^{\ge \; 0} \overbrace{- \; 6x^2 + 7x + 19}^{> \; 0 \text{ \textgreek{για} } x \; \in \; [-1, \; 2 \,] }}{3(x + 2)(x - 1)(x + 1)} > 0 \\[0.05in] &\Leftrightarrow (x + 2)(x - 1)(x + 1) > 0 \\[0.05in] &\Leftrightarrow \boxed{1 < x \le 2} \end{aligned} }$
‎
‎
Για $-3 \le x < -1$ με $x \ne -2$ :

$\displaystyle{ \begin{aligned} (1) \Leftrightarrow \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{2 + \sqrt{6 - x - x^2}}{(x - 1)(x + 2)} > \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x} &\Leftrightarrow \dfrac{ 5x(x + 1) \Bigl[2 + \sqrt{6 - x - x^2} \Bigr] }{3x(x + 1)(x + 2)(x - 1)} > - \dfrac{3x^2 + 3x - 6}{3x(x + 1)(x - 1)(x + 2)} \\[0.15in] &\Leftrightarrow \dfrac{ 5x(x + 1) \Bigl[2 + \sqrt{6 - x(x + 1)} \Bigr] + 3x(x + 1) - 6 }{3x(x + 1)\bigl[ x(x + 1) - 2 \bigr]} > 0 \\[0.15in] \overunderset{\ \ \ \ \ y \; := \; x(x \; + \; 1)}{\ \ \ \ y \; \in \; (0, 6], \ y \; \ne \; 2}{\Leftarrow\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\joinrel\joinrel}&\joinrel\joinrel\!\Rightarrow \dfrac{ 5y \Bigl( 2 + \sqrt{6 - y} \Bigr) + 3y - 6 }{3y(y - 2)} > 0 \\[0.15in] &\Leftrightarrow (y - 2) \Bigl( 5y \sqrt{6 - y} + 13y - 6 \Bigr) > 0 \end{aligned} }$

Βρίσκω τις τιμές του για τις οποίες η δεύτερη παρένθεση είναι θετική. Προφανώς, για $6 \ge y > \dfrac{6}{13}$ είναι θετική. Για $0 < y \le \dfrac{6}{13}$ , τώρα, είναι:

$\displaystyle{ \begin{aligned} 5y \sqrt{6 - y} + 13y - 6 > 0 \Leftrightarrow 5y \sqrt{6 - y} > 6 - 13y \ge 0 &\Leftrightarrow 150y^2 - 25y^3 > 169y^2 - 156y + 36 \\[0.05in] &\Leftrightarrow 25y^3 + 19y^2 - 156y + 36 < 0 \\[0.05in] \overset{\ \ \ \ \rm Horner}{\Leftarrow \joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\joinrel}\joinrel\joinrel&\Rightarrow (y - 2)(y + 3)\biggl( y - \dfrac{6}{25} \biggr) < 0 \\[0.05in] &\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{6}{25} < y \le \dfrac{6}{13}} \end{aligned} }$

Τελικά - και συναληθεύοντας με τους περιορισμούς για το - η δεύτερη παρένθεση είναι θετική αν και μόνο αν:

$\displaystyle{ \dfrac{6}{25} < y \le 6 \Leftrightarrow \dfrac{6}{25} < x(x + 1) \le 6 \Leftrightarrow -3 \le x < -2 \quad \text{\textgreek{ή}} \quad -2 < x < -\dfrac{6}{5} }$

και προφανώς αρνητική αν και μόνο αν: $-\dfrac{6}{5} < x < -1$ . Με πίνακα προσήμου, βρίσκω πως στο υπό εξέταση διάστημα η ανίσωση έχει λύση την: $\boxed{-3 \le x < -2 \quad \text{ \textgreek{ή} } \quad -\dfrac{6}{5} < x < -1}$ .

Δηλαδή, λύσεις της ανισότητας είναι όλα εκείνα τα $x \in \mathbb{R}$ για τα οποία ισχύει

$\displaystyle{ \boxed{-3 \le x < -2 \quad \text{ \textgreek{ή} } \quad -\dfrac{6}{5} < x < -1 \quad \text{ \textgreek{ή} } \quad 1 < x \le 2} }$

Al.Koutsouridis · #3

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον vgreco για την λύση του στο παρόν πρόβλημα, αλλά και στα άλλα παρόμοια, που έλυσε πρόσφατα. Για την ιστορία η άσκηση είναι από τις εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας για το έτος 2004.

Ρητή ανίσωση με απόλυτο

Ρητή ανίσωση με απόλυτο

Re: Ρητή ανίσωση με απόλυτο

Re: Ρητή ανίσωση με απόλυτο

Μέλη σε σύνδεση