Άσκηση στην Γραμμική Άλγεβρα

TrItOs · #1

Δεδομένων των φυσικών αριθμών n, l, m

τέτοιων ώστε $n \geqslant l \geqslant m$ και να λάβουμε υπόψη τις δύο πίνακες:
$\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{l,1} & a_{l,2} & \cdots & a_{l,m} \end{pmatrix}_{l \times m}, rank(A) = m }$
και
$\displaystyle{ B = \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,l} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,l} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & b_{n,2} & \cdots & b_{n,l} \end{pmatrix}_{n \times l}, rank(B) = l. }$

Σημειώσεις:
1. το σύνολο $[n] : = \{ 1 , 2 , \ldots , n \}$ .
2. το σύνολο $[l] : = \{ 1 , 2 , \ldots , l \}$ .
3. το σύνολο $[m] : = \{ 1 , 2 , \ldots , m \}$ .
4. Αν $\displaystyle{I = \{ r_{1} , r_{2} , \ldots , r_{m} \} \subseteq [ n ]}$ και $\displaystyle{J = \{ c_{1} , c_{2} , \ldots , c_{m} \} \subseteq [ l ]}$ , τότε $B_{I, J}$ είναι ο πίνακας

με γραμμές τους αριθμούς $\displaystyle{r_{1} , r_{2} , \ldots , r_{m}}$ και στήλες τους αριθμούς $\displaystyle{c_{1} , c_{2} , \ldots , c_{m}}$ .

Άσκηση: Έστω
$\displaystyle{ I_{1} = \big \{ x_{1} \text{ , } x_{2} \text{ , } \ldots \text{ , } x_{s} \text{ , } r_{1,1} \text{ , } r_{1,2} \text{ , } \ldots \text{ , } r_{1,k_{1}} \text{ , } x \big \} \text{ , } I_{2} = \big \{ x_{1} \text{ , } x_{2} \text{ , } \ldots \text{ , } x_{s} \text{ , } r_{2,1} \text{ , } r_{2,2} \text{ , } \ldots \text{ , } r_{2,k_{2}} \big \} }$
με $s + k_{1} + 1 = m$ και $s + k_{2} = m$ , δηλαδή $k_{2} = k_{1} + 1$ ,
τέτοια ώστε
$\displaystyle{ \exists J_{1} = \{ c_{1,1} \text{ , } c_{1,2} \text{ , } \ldots \text{ , } c_{1,m} \} \text{ , } \exists J_{2} = \{ c_{2,1} \text{ , } c_{2,2} \text{ , } \ldots \text{ , } c_{2,m} \} }$
με
$\displaystyle{ \det B_{I_{f} , J_{f} } \neq 0 \text{ , } \det A_{J_{f} , [m]} \neq 0 \text{ , } f=1,2. }$

Δείξτε ότι: υπάρχει ένα στοιχείο $y \in I_{2} \setminus I_{1}$ τέτοιο ώστε για $I : = (I_{1} \setminus x) \cup y$
υπάρχει ένα σύνολο με στοιχεία ώστε $\det A_{J , [m]} \neq 0$ και $\det B_{I , J} \neq 0$ .

Η προσέγγισή μου:

- Για τα $J_{1} , J_{2}$ αυτά, έχουμε

αντιστρέψιμους πίνακες $m \times m$ στον

.

- Από τις γραμμές $\displaystyle{c_{1,1} , c_{1,2} , \ldots , c_{1,m} \text{ , } c_{2,1} , c_{2,2} , \ldots , c_{2,m}}$ ,
διατηρούμε

από αυτές που είναι γραμμικά ανεξάρτητες, πού θα πούμε $\displaystyle{J = \big \{ C_{1} , C_{2} , \ldots , C_{m} \big \} }$ ,
ώστε
(τώρα)
για τις στήλες

στον πίνακα

,
θέλουμε να βρούμε ένα στοιχείο $y \in I_{2} \setminus I_{1}$ τέτοιο ώστε ο $m \times m$ πίνακας στο

με γραμμές $I : = ( I_{1} - x ) \cup y$ και στήλες

να είναι αντιστρέψιμος.

- Έτσι, για κάθε σταθερό $x \in I_{1} \setminus I_{2}$ ,
ψάχνουμε να αντικαταστήσουμε την

-γραμμή με μια γραμμή από το $I_{2} \setminus I_{1}$ και να εξακολουθεί να είναι ένας αντιστρέψιμος πίνακας με στήλες

.

Γιατί μπορούμε να βρούμε κάθε φορά ένα στοιχείο $y \in I_{2} \setminus I_{1}$ τέτοιο ώστε ο νέος πίνακας στο με στήλες να είναι αντιστρέψιμος;
Αν δεν μπορούμε να βρούμε ένα στοιχείο $y \in I_{2} \setminus I_{1}$ με αυτή την ιδιότητα, τότε αλλάζουμε τις στήλες του , και προσπαθούμε ξανά.

Θα μπορούσατε να με βοηθήσετε σας παρακαλώ με την παραπάνω άσκηση γραμμικής άλγεβρας;
Σας ευχαριστώ πολύ!
Αν δεν είναι κάτι κατανοητό, παρακαλώ ρωτήστε.

TrItOs · #2

Άσκηση: Έστω $I_{1}$ και $I_{2}$ με $|I_{1}| = |I_{2}| = m$ και $\color{orange} x \color{black} \in I_{1} - I_{2}$ έτσι ώστε $\exists J_{1}$ και $\exists J_{2}$ με $|J_{1}| = |J_{2}| = m$ έτσι ώστε $\det B_{I_{f} , J_{f} } \neq 0$ και $\det A_{J_{f} , [m]} \neq 0$ για .

Δείξτε ότι: υπάρχει ένα στοιχείο $y \in I_{2} - I_{1}$ έτσι ώστε για $I : = (I_{1} -x) \cup y$
να υπάρχει ένα σύνολο με στοιχεία όπου $\det A_{J , [m]} \neq 0$ και $\det B_{I , J} \neq 0$ .

Η προσπάθειά μου:

Θέλουμε να δείξουμε ότι: $\exists \color{magenta} y \color{black} \in I_{2} - I_{1}$ έτσι ώστε για $I : = ( I_{1} - \color{orange} x \color{black} ) \cup \color{magenta} y \color{black}$ να υπάρχει ένα σύνολο με $\det A_{J , [m]} \neq 0$ και $\det B_{I , J} \neq 0$ .

Για αυτά τα $J_{1} , J_{2}$ , έχουμε αντιστρέψιμους πίνακες $m \times m$ στο .

Υποθέτουμε, με αντίφαση, ότι $\displaystyle{\forall y \in I_{2} - I_{1}}$ και για όλα τα σύνολα ισχύει $\det A_{J , [m]} = 0$ ή $\det B_{I , J} = 0$ .

Παίρνουμε $J = J_{1}$ : αφού $\det A_{J_{1} , [m]} \neq 0$ , αυτό σημαίνει ότι $\det B_{I , J_{1}} = 0$ για όλα τα $y \in I_{2} - I_{1}$ .

Παρόμοια έχουμε $J = J_{2}$ : αφού $\det A_{J_{2} , [m]} \neq 0$ , αυτό σημαίνει ότι $\det B_{I , J_{2}} = 0$ για όλα τα $y \in I_{2} - I_{1}$ .

Αυτό σημαίνει: κάθε γραμμή σε έναν πίνακα από $I_{2}$ είναι γραμμικά εξαρτημένη από τις άλλες γραμμές από $I_{1} - \color{orange} x \color{black}$ στις στήλες $J_{1}$ και $J_{2}$ .

Πως θα μπορούσαμε να προχωρήσουμε αυτή την ιδέα;
Οδηγεί σε λύση;
Σας ευχαριστώ πολύ!

Άσκηση στην Γραμμική Άλγεβρα

Άσκηση στην Γραμμική Άλγεβρα

Re: Άσκηση στην Γραμμική Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση