Εξισώσεις 4ου βαθμού

DreamingMaths · #1

Ποια είναι η μορφή των ριζών εξισώσεων τετάρτου βαθμού;

stranger · #2

DreamingMaths έγραψε: Δευ Μαρ 25, 2024 9:34 am Ποια είναι η μορφή των ριζών εξισώσεων τετάρτου βαθμού;

Είναι συνδυασμός εκφράσεων ποσοτήτων με χρήση μόνο ριζικών, πρόσθεσης,αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης των συντελεστών του πολυωνύμου.
Για εξισώσεις 4ου βαθμού τέτοια έκφραση πάντα υπάρχει.
Για 5ου και πάνω δεν υπάρχει πάντα(Abel-Ruffini).
Edit:Δηλαδή να ανήκουν στο ελάχιστο υπόσωμα των μιγαδικών που να περιέχει τους συντελεστές και τα ριζικά τους.

stranger · #3

Ενδιαφέρον έχει εδώ να σταθούμε σε ένα σημείο(για να μαθαίνουν και οι νεώτεροι).
Το σημείο κλειδί που ενώνει την σύγχρονη άλγεβρα με τέτοια είδους προβλήματα καθώς και με τα προβλήματα της αρχαιότητας είναι η έννοια του σώματος.
Χωρίς αυτήν την έννοια δεν θα μπορούσαν να λυθούν αυτά τα προβλήματα. Και οι ίδιοι οι αρχαίοι δεν τα είχαν λύσει.Χρειάστηκε να γίνει μια υπέρβαση από τότε.
Η έννοια του σώματος είναι ουσιαστικά ένα σύνολο που αν πάρεις δύο στοιχεία του τότε κάθε βασική πράξη αυτών των στοιχείων ανήκει στο σύνολο.Βασικη πράξη εννοώ πρόσθεση,αφαίρεση,πολλαπλασιασμός και διαίρεση με μη μηδενικό στοιχείο.
Έτσι μπορούμε να αποτυπώσουμε αυστηρά το τι σημαίνει ότι μια ποσότητα γράφεται ως αποτέλεσμα διαδοχικών βασικών πράξεων από ένα σύνολο στοιχείων.

DreamingMaths · #4

Μπορούμε με τη μέθοδο επίλυσης του Ferrari ή κάποια άλλη μαθηματική μέθοδο
να βρούμε την απλουστευμένη μορφή των ριζών, κάποιων εξισώσεων 4ου βαθμού;
π.χ. για τις εξισώσεις

$f_{1}(x)=x^{4}+4x^{3}+5=0$
$f_{2}(x)=x^{4}+4x^{3}-48x^{2}+80x+8=0$

#5

DreamingMaths έγραψε: Πέμ Μάιος 23, 2024 2:05 pm Μπορούμε με τη μέθοδο επίλυσης του Ferrari ή κάποια άλλη μαθηματική μέθοδο
να βρούμε την απλουστευμένη μορφή των ριζών, κάποιων εξισώσεων 4ου βαθμού;
π.χ. για τις εξισώσεις

$f_{1}(x)=x^{4}+4x^{3}+5=0$
$f_{2}(x)=x^{4}+4x^{3}-48x^{2}+80x+8=0$

Στον πρώτο τόμο της μαθηματικής εγκυκλοπαίδειας Παγουλάτου , έκδοση $\displaystyle 1975$

θα βρείτε στις σελίδες: 192

έως

για τις εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού.

Ο (με διδακτορικό) κ. Stranger

σας απάντησε πολύ απλά κι ωραία . Τι άλλο θέλετε δεν κατάλαβα .

Για τις εξισώσεις που ζητάτε υπάρχουν λογισμικά που δίδουν τις λύσεις τους .

Και οι δύο που ζητάτε έχουν: από 2 πραγματικές και 2 μιγαδικές λύσεις .

DreamingMaths · #6

Doloros έγραψε: Πέμ Μάιος 23, 2024 8:35 pm
Ο (με διδακτορικό) κ. σας απάντησε πολύ απλά κι ωραία . Τι άλλο θέλετε δεν κατάλαβα

Θα σας πω παρόλο που το διατύπωσα καθαρά, έτσι πιστεύω, χωρίς να είμαι μαθηματικός.
Η τριτοβάθμια εξίσωση $g(x)=x^{3}-3x^{2}-2=0$ έχει ρίζα την
$x_{1}=1+\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$

Αυτή είναι η απλουστευμένη μορφή της ρίζας που εξάγεται βάσει γνωστού τύπου επίλυσης
ο οποίος δίνει απλουστευμένη μορφή και στις υπόλοιπες ρίζες της εξίσωσης.

Ανάλογα τώρα, στην εξίσωση 4ου βαθμού, ο τύπος επίλυσης του Ferrari
ή κάποιος άλλος ικανός τύπος μπορεί να δώσει την απλουστευμένη μορφή
των πραγματικών ριζών μίας τέτοιας τυχαίας εξίσωσης;

#7

DreamingMaths έγραψε: Παρ Μάιος 24, 2024 10:53 am
Doloros έγραψε: Πέμ Μάιος 23, 2024 8:35 pm
Ο (με διδακτορικό) κ. σας απάντησε πολύ απλά κι ωραία . Τι άλλο θέλετε δεν κατάλαβα
Θα σας πω παρόλο που το διατύπωσα καθαρά, έτσι πιστεύω, χωρίς να είμαι μαθηματικός.
Η τριτοβάθμια εξίσωση $g(x)=x^{3}-3x^{2}-2=0$ έχει ρίζα την
$x_{1}=1+\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$

Αυτή είναι η απλουστευμένη μορφή της ρίζας που εξάγεται βάσει γνωστού τύπου επίλυσης
ο οποίος δίνει απλουστευμένη μορφή και στις υπόλοιπες ρίζες της εξίσωσης.

Ανάλογα τώρα, στην εξίσωση 4ου βαθμού, ο τύπος επίλυσης του Ferrari
ή κάποιος άλλος ικανός τύπος μπορεί να δώσει την απλουστευμένη μορφή
των πραγματικών ριζών μίας τέτοιας τυχαίας εξίσωσης;

Στην εξίσωση , ${x^3} - 3{x^2} - 2 = 0$ έχω την πραγματική λύση που μας έχετε γράψει και δύο άλλες συζυγείς μιγαδικές .

Για να μπορέσετε να κατανοήσετε την όλη διαδικασία για του τετάρτου βαθμού εξίσωση,

θα πρέπει να μπορείτε να λύσετε την πιο πάνω τριτοβάθμια γιατί εν γένει οι τετάρτου βαθμού μετασχηματίζονται σε τρίτου βαθμού.

Ας δούμε μέχρι σε ένα σημείο τη λύση της ${x^3} - 3{x^2} - 2 = 0$ .

Πρώτα- πρώτα πρέπει να γίνει απαλοιφή του δευτέρου βαθμού όρου . Θέτω : $\boxed{x = y + 1}\,\,\,\left( 1 \right)$ κι έχω :

${\left( {x + 1} \right)^3} - 3{\left( {x + 1} \right)^2} - 2 = 0$ . Μετά τις απλές και για μαθητή γυμνασίου πράξεις γίνεται : ${y^3} - 3y - 5 = 0$

τώρα αυτή μπορώ να την μετασχηματίσω σε κατάλληλη δευτεροβάθμια . Θέτω $\boxed{y = z + \dfrac{1}{z}}\,\,\,\left( 2 \right)$ κι έχω :

${\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right)^3} - 3\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right) - 5 = 0$ που μετά τις πράξεις και τις απαλοιφές γίνεται : ${z^3} + \dfrac{1}{{{z^3}}} - 5 = 0 \Leftrightarrow \boxed{{z^6} - 5{z^3} + 1 = 0}\,\,\,\left( 3 \right)$

Η πιο πάνω είναι δευτέρου βαθμού ως προς ${z^3}$

Επειδή η διακρίνουσα της είναι D = 25 - 4 = 21 > 0

έχω 2 μιγαδικές συζυγείς και μια πραγματική .

( Αν είχε αρνητική διακρίνουσα θα είχαμε

πραγματικές ρίζες !)

Μπορείτε τώρα εσείς να μας δείξετε με τη βοήθεια των $\left( 1 \right)\,,\,\,\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ πώς βρίσκουμε, μόνο τη λύση που έχετε βάλει;

DreamingMaths · #8

Doloros έγραψε: Παρ Μάιος 24, 2024 2:13 pm Στην εξίσωση , ${x^3} - 3{x^2} - 2 = 0$ έχω την πραγματική λύση που μας έχετε γράψει και δύο άλλες συζυγείς μιγαδικές .

Για να μπορέσετε να κατανοήσετε την όλη διαδικασία για του τετάρτου βαθμού εξίσωση,

θα πρέπει να μπορείτε να λύσετε την πιο πάνω τριτοβάθμια γιατί εν γένει οι τετάρτου βαθμού μετασχηματίζονται σε τρίτου βαθμού...

Σας έδωσα την εντύπωση ότι δεν έχω κατανοήσει κάποια διαδικασία, όπως είπατε για την επίλυση εξισώσεων 4ου βαθμού. Καθίσατε και επιλύσατε την εξίσωση 3ου βαθμού για να καταλάβω το ανωτέρω, υποθέτω. Εξαγάγατε λανθασμένο συμπέρασμα, αλλά δεν τρέχει φυσικά τίποτε γιατί ίσως δεν εκφράζομαι σωστά τις μαθηματικές μου σκέψεις.

Doloros έγραψε: Παρ Μάιος 24, 2024 2:13 pm
Ας δούμε μέχρι σε ένα σημείο τη λύση της ${x^3} - 3{x^2} - 2 = 0$ .

Πρώτα- πρώτα πρέπει να γίνει απαλοιφή του δευτέρου βαθμού όρου . Θέτω : $\boxed{x = y + 1}\,\,\,\left( 1 \right)$ κι έχω :

${\left( {x + 1} \right)^3} - 3{\left( {x + 1} \right)^2} - 2 = 0$ . Μετά τις απλές και για μαθητή γυμνασίου πράξεις γίνεται : ${y^3} - 3y - 5 = 0$

τώρα αυτή μπορώ να την μετασχηματίσω σε κατάλληλη δευτεροβάθμια . Θέτω $\boxed{y = z + \dfrac{1}{z}}\,\,\,\left( 2 \right)$ κι έχω :

${\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right)^3} - 3\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right) - 5 = 0$ που μετά τις πράξεις και τις απαλοιφές γίνεται : ${z^3} + \dfrac{1}{{{z^3}}} - 5 = 0 \Leftrightarrow \boxed{{z^6} - 5{z^3} + 1 = 0}\,\,\,\left( 3 \right)$

Η πιο πάνω είναι δευτέρου βαθμού ως προς ${z^3}$

Επειδή η διακρίνουσα της είναι έχω 2 μιγαδικές συζυγείς και μια πραγματική .

( Αν είχε αρνητική διακρίνουσα θα είχαμε πραγματικές ρίζες !)

Μπορείτε τώρα εσείς να μας δείξετε με τη βοήθεια των $\left( 1 \right)\,,\,\,\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ πώς βρίσκουμε, μόνο τη λύση που έχετε βάλει;

Αν κατάλαβα καλά, θεωρήσατε πως έγραψα ότι η τριτοβάθμια έχει μόνο μία ρίζα. Θα έπρεπε να γράψω καλύτερα ότι μία από τις ρίζες της τριτοβάθμιας ήταν η $x_{1}$ , όμως το εννοούσα όταν έγραψα, "ο οποίος τύπος επίλυσης δίνει απλουστευμένη μορφή και στις υπόλοιπες ρίζες της εξίσωσης."
Τέλος πάντων, επειδή δεν γίνομαι κατανοητός και επειδή με χαρακτηρίζει η ταπεινοφροσύνη, θα πω συγγνώμη αν δεν εκφράστηκα σωστά. Για να μην υπάρξει άλλη χρονοτριβή χωρίς νόημα, για εσάς και για όσους ενδιαφέρονται, έχω να πω τα εξής:

Η εξίσωση $f_{1}(x)=x^{4}+4x^{3}+5=0$ έχει δύο πραγματικές και δύο μιγαδικές ρίζες εκ των οποίων οι πραγματικές είναι οι

$s_{1,2}=\frac{-2-\sqrt{\frac{12+2\sqrt[3]{135+15\sqrt{66}}+2\sqrt[3]{135-15\sqrt{66}}}{3}}}{2}\pm$

$\frac{\sqrt{\frac{24-2\sqrt[3]{135+15\sqrt{66}}-2\sqrt[3]{135-15\sqrt{66}}+4\sqrt{21-6\sqrt[3]{135+15\sqrt{66}}-6\sqrt[3]{135-15\sqrt{66}}+\sqrt[3]{(135+15\sqrt{66})^{2}}+\sqrt[3]{(135-15\sqrt{66})^{2}}}}{3}}}{2}$

Η εξίσωση $f_{2}(x)=x^{4}+4x^{3}}-48x^{2}+80x+8=0$ έχει εξίσου δύο πραγματικές και δύο μιγαδικές ρίζες εκ των οποίων οι πραγματικές είναι οι

$u_{1,2}=-1-\sqrt{9+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{50}}\pm \sqrt{18-\sqrt[3]{20}-\sqrt[3]{50}+2\sqrt{71-4\sqrt[3]{20}-7\sqrt[3]{50}}}$

Έκανα το ερώτημα, όχι γιατί κάνω τον έξυπνο αλλά γιατί δεν γνωρίζω τις πλήρεις δυνατότητες του τύπου επίλυσης του Ferrari, για αυτό και σας ρώτησα. Οι μορφές αυτές των ριζών δεν εξήχθησαν μέσω του τύπου του Ferrari. Είναι αποτέλεσμα μίας προσωπικής, πολύχρονης μελέτης μου στις πολυωνυμικές εξισώσεις.

#9

DreamingMaths έγραψε: Παρ Μάιος 24, 2024 4:32 pm λει;

Αν κατάλαβα καλά, θεωρήσατε πως έγραψα ότι η τριτοβάθμια έχει μόνο μία ρίζα. Θα έπρεπε να γράψω καλύτερα ότι μία από τις ρίζες της τριτοβάθμιας ήταν η $x_{1}$ , όμως το εννοούσα όταν έγραψα, "ο οποίος τύπος επίλυσης δίνει απλουστευμένη μορφή και στις υπόλοιπες ρίζες της εξίσωσης."
Τέλος πάντων, επειδή δεν γίνομαι κατανοητός και επειδή με χαρακτηρίζει η ταπεινοφροσύνη, θα πω συγγνώμη αν δεν εκφράστηκα σωστά. Για να μην υπάρξει άλλη χρονοτριβή χωρίς νόημα, για εσάς και για όσους ενδιαφέρονται, έχω να πω τα εξής:

Η εξίσωση $f_{1}(x)=x^{4}+4x^{3}+5=0$ έχει δύο πραγματικές και δύο μιγαδικές ρίζες εκ των οποίων οι πραγματικές είναι οι

$s_{1,2}=\frac{-2-\sqrt{\frac{12+2\sqrt[3]{135+15\sqrt{66}}+2\sqrt[3]{135-15\sqrt{66}}}{3}}}{2}\pm$

$\frac{\sqrt{\frac{24-2\sqrt[3]{135+15\sqrt{66}}-2\sqrt[3]{135-15\sqrt{66}}+4\sqrt{21-6\sqrt[3]{135+15\sqrt{66}}-6\sqrt[3]{135-15\sqrt{66}}+\sqrt[3]{(135+15\sqrt{66})^{2}}+\sqrt[3]{(135-15\sqrt{66})^{2}}}}{3}}}{2}$

Η εξίσωση $f_{2}(x)=x^{4}+4x^{3}}-48x^{2}+80x+8=0$ έχει εξίσου δύο πραγματικές και δύο μιγαδικές ρίζες εκ των οποίων οι πραγματικές είναι οι

$u_{1,2}=-1-\sqrt{9+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{50}}\pm \sqrt{18-\sqrt[3]{20}-\sqrt[3]{50}+2\sqrt{71-4\sqrt[3]{20}-7\sqrt[3]{50}}}$

Έκανα το ερώτημα, όχι γιατί κάνω τον έξυπνο αλλά γιατί δεν γνωρίζω τις πλήρεις δυνατότητες του τύπου επίλυσης του Ferrari, για αυτό και σας ρώτησα. Οι μορφές αυτές των ριζών δεν εξήχθησαν μέσω του τύπου του Ferrari. Είναι αποτέλεσμα μίας προσωπικής, πολύχρονης μελέτης μου στις πολυωνυμικές εξισώσεις.
[/quote]

Καλησπέρα . πολύ ωραία . το ίδιο αποτέλεσμα δίδει και το λογισμικό .

Δεν είμαι ο αρμόδιος για να σας κρίνω . Μπορείτε να υποβάλετε σε κάποιο πανεπιστήμιο τα ευρήματα σας .

Καλή σας νύκτα .

Εξισώσεις 4ου βαθμού

Εξισώσεις 4ου βαθμού

Re: Εξισώσεις 4ου βαθμού

Re: Εξισώσεις 4ου βαθμού

Re: Εξισώσεις 4ου βαθμού

Re: Εξισώσεις 4ου βαθμού

Re: Εξισώσεις 4ου βαθμού

Re: Εξισώσεις 4ου βαθμού

Re: Εξισώσεις 4ου βαθμού

Re: Εξισώσεις 4ου βαθμού

Μέλη σε σύνδεση