Ανισότητα τεσσάρων ριζικών

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς $x,\alpha,\beta,\gamma,\delta$ με $\alpha+\beta=\gamma+\delta$ και $\alpha\beta<\gamma\delta$

#1. Να αποδείξετε την ανισότητα

$\sqrt{\alpha^2+x^2}+\sqrt{\beta^2+x^2}\ge\sqrt{\gamma^2+x^2}+\sqrt{\delta^2+x^2}$

#2. Να βρείτε: πότε υπάρχουν τιμές για το

ώστε να ισχύει το ίσον και ποιες είναι αυτές.

#2

Έχουμε

και

Αποκλείεται a=b

αφού με

και

προκύπτει

ή

Ας είναι

Είναι

άρα

ή

επομένως,

Ομοίως

κ.λπ.

Έστω, τώρα $a<c\leqslant d<b$ . Τα διαστήματα [a,b]

και

έχουν, φανερά, κοινό μέσο, ας το πούμε

Ορίζω

. H αποδεικτέα ισχύει (χωρίς το ίσον), γιατί γράφεται TA+TB>TC+TD

που ισχύει. ( αφού, για παράδειγμα, αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς το μέσο

γίνεται

, που είναι γνωστή άσκηση.)

#3

Με ενδιαφέρει όποια λύση έχει υπόψη του ο θεματοδότης.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #4

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 31, 2024 12:47 am
Με ενδιαφέρει όποια λύση έχει υπόψη του ο θεματοδότης.

Χαίρετε,

παραθέτω τη δική μου λύση:

Κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι
$\alpha^2+\beta^2-\gamma^2-\delta^2=2(\gamma\delta-\alpha\beta)$

Υψώνοντας κατά μέλη στο τετράγωνο τη ζητούμενη έχουμε ισοδύναμα
$\alpha^2+x^2+\beta^2+x^2+2\sqrt{\alpha^2+x^2}\sqrt{\beta^2+x^2}\ge\gamma^2+x^2+\delta^2+x^2+2\sqrt{\gamma^2+x^2}\sqrt{\delta^2+x^2}$

$\alpha^2+\beta^2-\gamma^2-\delta^2\ge2(\sqrt{\gamma^2+x^2}\sqrt{\delta^2+x^2}-\sqrt{\alpha^2+x^2}\sqrt{\beta^2+x^2})$

Χρησιμοποιώντας συζυγή παράσταση στο δεύτερο μέλος λαμβάνουμε

$\gamma\delta-\alpha\beta\ge\frac{(\gamma\delta-\alpha\beta)(\gamma\delta+\alpha\beta)-2(\gamma\delta-\alpha\beta)x^2}{\sqrt{\gamma^2+x^2}\sqrt{\delta^2+x^2}+\sqrt{\alpha^2+x^2}\sqrt{\beta^2+x^2}}$

$1\ge\frac{(\gamma\delta+\alpha\beta)-2x^2}{\sqrt{\gamma^2+x^2}\sqrt{\delta^2+x^2}+\sqrt{\alpha^2+x^2}\sqrt{\beta^2+x^2}}$

Είναι

$\sqrt{\gamma^2+x^2}\sqrt{\delta^2+x^2}+\sqrt{\alpha^2+x^2}\sqrt{\beta^2+x^2}$
$\ge|\gamma|\cdot|\delta|+|\alpha|\cdot|\beta|$ $\ge|\gamma\delta+\alpha\beta|$
$\ge\gamma\delta+\alpha\beta$ $\ge \gamma\delta+\alpha\beta-2x^2$

Η τελευταία ανισότητα είναι αυστηρή ακριβώς για $x\ne0$

Συμπεράσματα:
$\color{red}\bullet$ η ζητούμενη ανισότητα ισχύει
$\color{red}\bullet$ Για x=0

ισχύει το ίσον εάν επιπλέον $\alpha,\beta$ ομόσημοι και $\gamma,\delta$ ομόσημοι
$\color{red}\bullet$ Για $x\ne0$ δεν ισχύει το ίσον αφού από την τελευταία έχουμε

$\sqrt{\gamma^2+x^2}\sqrt{\delta^2+x^2}+\sqrt{\alpha^2+x^2}\sqrt{\beta^2+x^2}>\gamma\delta+\alpha\beta-2x^2$ $\color{purple}\blacksquare$

#5

Και μία με παραγώγους:

Υψώνοντας στο τετράγωνο και θέτοντας y=x^2

βλέπουμε ότι αρκεί να δειχθεί, για $y\geq 0,$ a+b=c+d=s

και

η ανισότητα

$\sqrt{(ab)^2+(s^2-2(ab))y+y^2}-ab\geq \sqrt{(cd)^2+(s^2-2(cd))y+y^2}-cd.$

Θεωρώντας εδώ την $f(z)=\sqrt{z^2-2yz+s^2y+y^2}-z$ ... αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει η $f'(z)\leq 0,$ πράγματι ισοδύναμη προς την $s^2y\geq 0$ (με αυστηρές ανισότητες αν και μόνον αν $s\neq 0$ και $y>0\leftrightarrow x>0$ ).

[Καλύτερα να εξεταστούν χωριστά και εξ αρχής οι περιπτώσεις x=0

(οπότε ισχύει η ισότητα αν και μόνον αν |a|+|b|=|c|+|d|

)* και

(οπότε δεν μπορεί να ισχύει η ισότητα λόγω της ab<cd

που γίνεται a^2>c^2

λόγω της

).]

*υπάρχουν δηλαδή πολλά τετριμμένα (αντι)παραδείγματα αυστηρής ανισότητας με x=0,

πχ

-- η εκφώνηση δεν περιορίζει τα a, b, c, d

στους μη αρνητικούς αριθμούς!

mathematica.gr

Ανισότητα τεσσάρων ριζικών

Ανισότητα τεσσάρων ριζικών

Re: Ανισότητα τεσσάρων ριζικών

Re: Ανισότητα τεσσάρων ριζικών

Re: Ανισότητα τεσσάρων ριζικών

Re: Ανισότητα τεσσάρων ριζικών

Μέλη σε σύνδεση