Με αφορμή το Δ4 Πανελλήνιες 2024

abgd · #1

Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ , τότε η αρχική της συνάρτησης $\displaystyle{|f|f'}$ είναι η συνάρτηση $\displaystyle{\frac{1}{2}|f|f}$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω $g=\frac{1}{2}|f|f$
Αφού η

είναι παραγωγίσιμη θα είναι και συνεχής.
Έστω $x_o\in \Delta$ οπότε $f(x_o)=\lim\limits_{x\to x_o}f(x)$

Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις:
#1. f(x_o)>0

οπότε κοντά στο x_o

θα έχουμε:
f(x)>0

(ιδιότητες ορίων)
$g(x)=\frac{1}{2}f(x)\cdot f(x)$ $\Rightarrow g^\prime(x_o)=f(x_o)f^\prime(x_o)$ $=|f(x_o)|f^\prime(x_o)$

#2. f(x_o)<0

οπότε κοντά στο x_o

θα έχουμε:
f(x)<0

(ιδιότητες ορίων)
$g(x)=-\frac{1}{2}f(x)\cdot f(x)$ $\Rightarrow g^\prime(x_o)=-f(x_o)f^\prime(x_o)$ $=|f(x_o)|f^\prime(x_o)$

#3. f(x_o)=0

οπότε $\lim\limits_{x\to x_o}\frac{g(x)-g(x_o)}{x-x_o}$ $=\lim\limits_{x\to x_o}\frac{\frac{1}{2}|f(x)|f(x)}{x-x_o}$
$=\lim\limits_{x\to x_o}\big(\frac{1}{2}|f(x)|\cdot\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\big)$ $=\frac{1}{2}\cdot |f(x_o)|\cdot f^\prime(x_o)=0=|f(x_o)|f^\prime(x_o)$

Συμπεραίνουμε συνεπώς ότι $g^\prime=|f|f^\prime$ $\blacksquare$

abgd · #3

Ιάσων ευχαριστώ για την αναλυτική λύση σου.
Είχα κατά νου και αυτό...

Για τα $\displaystyle{x}$ για τα οποία η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ δεν μηδενίζει έχουμε: $\displaystyle{|f|'=\left(\sqrt{f^2}\right)'=\frac{2ff'}{2\sqrt{f^2}}=\frac{f}{|f|}f'}}$

Έτσι θα είναι: $\displaystyle{\left(\frac{1}{2}|f|f\right)'=\frac{1}{2}\left(\frac{f}{|f|}f'f+|f|f'\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{f^2}{|f|}f'+|f|f'\right)=|f|f'}$

Για τα $\displaystyle{x}$ για τα οποία η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ μηδενίζει έχουμε:
$\displaystyle{ \lim\limits_{h\to 0}\frac{|f(x+h)|f(x+h)-0}{h}=|f(x)|f'(x)=0=(|f|f)(x)$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #4

Κώστα η δική σου προσέγγιση είναι καλύτερη γιατί:

#1. είναι σχεδόν πρωτοβάθμιας λογικής αφού αναφέρεσαι σε συναρτήσεις αποφεύγοντας υποδειγματικά (κατά το δυνατόν) τα ορίσματα!
(https://en.wikipedia.org/wiki/Argument_of_a_function)

#2. αναδεικνύει έναν κανόνα παραγώγισης για την |f|

τον οποίον θεωρώντας τη συνάρτηση-πρόσημο $s(x)=\begin{cases}1&x>0\\ 0& x=0 \\-1&x<0\end{cases}$ για την οποία ισχύει $|f| = s(f) \cdot f$
μπορούμε να τον ξαναγράψουμε: για $\color{blue}f(x)\ne0$ ισχύει $\color{blue}|f|^{\prime} = s(f) f^\prime$ (γράφω τη σύνθεση $s\circ f$ με s(f)

)

#3. επιτρέπει γενικεύσεις όπως για $a\in\mathbb{R}_+$
$\color{blue}(\frac{1}{a+1}f|f|^a)^\prime=|f|^a f^\prime$

stranger · #5

Φυσικά, ο λόγος που δεν παραγωγίζεται κατ'ανάγκην μια τέτοια συνάρτηση στα σημεία μηδενισμού της

είναι ότι η |x|

δεν παραγωγίζεται στο

.

Με αφορμή το Δ4 Πανελλήνιες 2024

Με αφορμή το Δ4 Πανελλήνιες 2024

Re: Με αφορμή το Δ4 Πανελλήνιες 2024

Re: Με αφορμή το Δ4 Πανελλήνιες 2024

Re: Με αφορμή το Δ4 Πανελλήνιες 2024

Re: Με αφορμή το Δ4 Πανελλήνιες 2024

Μέλη σε σύνδεση