Υπερβολές

KARKAR · #1

: Υπερβολές.png (13.73 KiB) Προβλήθηκε 2116 φορές

Σημείο

κινείται στο εσωτερικό του τόξου του μοναδιαίου κύκλου που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο .

Οι AS , BS

τέμνουν τους άξονες στα σημεία T , P

. Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου

του

.

Μπορούμε άραγε να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

; ( Πάρτε την ακτίνα αντί για

...

)

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2024 7:23 am
Υπερβολές.pngΣημείο κινείται στο εσωτερικό του τόξου του μοναδιαίου κύκλου που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο .

Οι τέμνουν τους άξονες στα σημεία . Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου του .

Μπορούμε άραγε να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου ; ( Πάρτε την ακτίνα αντί για ... )

: Υπερβολές.png (14.21 KiB) Προβλήθηκε 2094 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Έστω

,

και $S(\cos\varphi, \sin\varphi)$ με
$\varphi\in(0,\dfrac{\pi}{2})$
Είναι απλό να βρούμε ότι T(0,y_T)

με
$y_T=\dfrac{\sin\varphi}{1-\cos\varphi }=…=\cot\dfrac{\varphi}{2}$
Και P(x_P,0)

με $x_P=\dfrac{\cos\varphi}{1-\sin\varphi }$ $=\dfrac{\sin(\frac{\pi}{2}-\varphi)}{1-\cos(\dfrac{\pi}{2}-\varphi) }$
$=\cot(\dfrac{\pi}{4}-\frac{\varphi}{2})$
Αφού $M(\dfrac{x_P}{2},\dfrac{y_T}{2})$ αν θέσουμε $x=\dfrac{x_P}{2}$ ,
$y=\dfrac{y_T}{2}$
βρίσκουμε $\arccot(2x)+ \arccot(2y)=\dfrac{\pi}{4}$ , x,y>0

και εναλλακτικά $\arctan(\dfrac{1}{2x })+ \arctan(\dfrac{1}{2y})=\dfrac{\pi}{4}$ , x,y>0

οπότε από την εφαπτομένη του αθροίσματος κατά μέλη
$y=\dfrac{2x+1}{4x-2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2x-1}$ , $x>\dfrac{1}{2}$ $\blacksquare$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 19, 2024 7:23 am
Υπερβολές.pngΣημείο κινείται στο εσωτερικό του τόξου του μοναδιαίου κύκλου που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο .

Οι τέμνουν τους άξονες στα σημεία . Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου του .

Μπορούμε άραγε να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου ; ( Πάρτε την ακτίνα αντί για ... )

Είναι

και θέτω

και $S(s,\sqrt{1-s^2}, 0\le s\le 1.$

: Υπερβολές.β.png (13.34 KiB) Προβλήθηκε 2017 φορές

Εύκολα βρίσκω $\displaystyle T\left( {0,\frac{{\sqrt {1 - {s^2}} }}{{1 - s}}} \right),P\left( { - \frac{s}{{\sqrt {1 - {s^2}} - 1}},0} \right),$ οπότε $\displaystyle M\left( { - \frac{s}{{2(\sqrt {1 - {s^2}} - 1)}},\frac{{\sqrt {1 - {s^2}} }}{{2(1 - s)}}} \right)$

Άρα, $\displaystyle 2x = - \frac{s}{{\sqrt {1 - {s^2}} - 1}},2y = \frac{{\sqrt {1 + s} }}{{\sqrt {1 - s} }},$ απ' όπου με απαλοιφή του

παίρνω την εξίσωση του γεωμετρικού

τόπου, $\boxed{y = \frac{{2x + 1}}{{2(2x - 1)}},x > \frac{1}{2}}$

Υπερβολές

Υπερβολές

Re: Υπερβολές

Re: Υπερβολές

Re: Υπερβολές

Μέλη σε σύνδεση