Συνευθειακά και λόγος

KARKAR · #1

: Συνευθειακά και λόγος.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

Από σημείο

, εξωτερικό κύκλου (O,r)

φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

και τη διάμετρο

, παράλληλη προς το

. Σχεδιάζω επίσης τις τέμνουσες SAC

και

.

α) Δείξτε ότι τα σημεία C , T

και το μέσο

του τμήματος

είναι συνευθειακά .

β) Αν : $\dfrac{CT}{TM}=\dfrac{24}{5}$ , υπολογίστε την απόσταση του σημείου

από το κέντρο

.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

α) Έστω $\{M\}=CT\cap SP$

$\angle SCM$ $=\angle ABS$ $=\angle TSM$
$\Rightarrow \triangle CMS\sim \triangle SMT$
$\Rightarrow \dfrac{CM}{SM}=\dfrac{MS}{MT}=\dfrac{SC}{TS}$
$\Rightarrow MS^2=CM\cdot MT=MP^2$
οπότε το

είναι μέσον του

β)
Έστω $\varphi=\angle ASP$ , x=SP

, $\dfrac{CT}{TM}=\lambda$

Οπότε
$OS=\sqrt{r^2+x^2}$ (αρκεί να υπολογιστεί το

)
$SA=\sqrt{r^2+(x-r)^2}$
$SB=\sqrt{r^2+(x+r)^2}$
$SB\cdot ST=x^2$ $\Rightarrow ST=\dfrac{x^2}{\sqrt{r^2+(x+r)^2}}$
$SA\cdot SC=x^2$ $\Rightarrow SC=\dfrac{x^2}{\sqrt{r^2+(x-r)^2}}$

Έχουμε αφ' ενός
$\cos \varphi=\dfrac{x-r}{SA}$
$MC^2=\dfrac{x^2}{4}+SC^2-2\cdot\dfrac{x}{2}\cdot SC\cdot \cos \varphi$
$=...=\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^4}{r^2+(x-r)^2}-\dfrac{x^3(x-r)}{r^2+(x-r)^2}$ $=\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^3r}{r^2+(x-r)^2}$

'Εχουμε αφ' ετέρου
$CM=(\lambda+1)\cdot TM$ $=(\lambda+1)\cdot MS\cdot \dfrac{ST}{SC}$ $=(\lambda+1)\cdot\dfrac{x}{2} \cdot\dfrac{\sqrt{r^2+(x-r)^2}}{\sqrt{r^2+(x+r)^2}}$

Θεωρώντας βρίσκουμε για το τις εξής δυο τιμές
$x=\dfrac{2+\lambda\pm\sqrt{-\lambda^2+4\lambda+4}}{\lambda}$

Ειδικά για $\lambda=\dfrac{24}{5}$ έχουμε $x=\dfrac{3}{2}$ ή $x=\dfrac{4}{3}$
οπότε μπορούμε από αυτό να υπολογίσουμε τις δυο τιμές της ζητούμενης απόστασης $\blacksquare$

KARKAR · #3

Απλά να συμπληρώσω ότι σύμφωνα με την άψογη λύση του Ιάσονα

ότι η απόσταση

, ισούται με : $\dfrac{5r}{3}$ είτε με : $\dfrac{r\sqrt{13}}{2}$ .

Συνευθειακά και λόγος

Συνευθειακά και λόγος

Re: Συνευθειακά και λόγος

Re: Συνευθειακά και λόγος

Μέλη σε σύνδεση