Επίλογος

KARKAR · #1

: Επίλογος.png (11.42 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

Η

είναι διάμεσος ενώ τα BD , CE

, ύψη . Αξιοποιώντας

τα δεδομένα του σχήματος , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SM}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2024 6:16 pm
Επίλογος.pngΗ είναι διάμεσος ενώ τα , ύψη . Αξιοποιώντας

τα δεδομένα του σχήματος , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SM}$ .

Επειδή η

είναι αντιπαράλληλη στην

και η

διάμεσος στο $\vartriangle ABC$ , η

είναι συμμετροδιάμεσος στο $\vartriangle AED$ .

Το μήκος της

μπορεί να ληφθεί αυθαίρετα . Έστω λοιπόν $\boxed{BC = 3\sqrt {10} }$ .

Αν $BE = t \Rightarrow EC = 3t$ και από Π. Θ. στο $\vartriangle EBC$ έχω : $10{t^2} = 90 \Rightarrow EB = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC = 9$ . Ομοίως αν $DC = 7u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD = 9u$ θα έχω:

$130{u^2} = 90 \Rightarrow \boxed{u = \frac{3}{{\sqrt {13} }}}$ . Θέτω $\boxed{\frac{1}{{\sqrt {13} }} = a}$ και προκύπτουν : $DC = 21a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB = 27a$ .

: Επίλογος_a.png (22.81 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές

Τώρα από Θ. Πτολεμαίου στο τετράπλευρο BCDE

έχω $\boxed{\frac{{ED}}{{BC}} = 2a}$ . Επειδή $\vartriangle AED \approx \vartriangle ACB$ προκύπτει :

$AE = x = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD = y = 18a$ .

Αφού τώρα στα δύο προαναφερθέντα όμοια τρίγωνα γνωρίζουμε όλες τους τις πλευρές υπολογίζω :

Τη συμμετροδιάμεσο

στο $\vartriangle AED$ από τον τύπο $\boxed{{s_a} = \frac{{2bc}}{{{b^2} + {c^2}}} \cdot {m_a}}$ και από το Θ. διαμέσων στο $\vartriangle ABC$ τη διάμεσο

.

Τελικά προκύπτει , $\boxed{\frac{{AS}}{{SM}} = \frac{6}{5}}$ .

Θα ρωτήσει κάποιος : γιατί επέλεξες , $BC = 3\sqrt {10}$ ; γενικά βολεύει με τα δεδομένα της άσκηση η μορφή $BC = n\sqrt {10} \,$ .

Πιο πολύ όμως ήθελα το σχήμα να είναι ευανάγνωστο . Θα μπορούσα φυσικά να επιλέξω .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2024 6:16 pm
Επίλογος.pngΗ είναι διάμεσος ενώ τα , ύψη . Αξιοποιώντας

τα δεδομένα του σχήματος , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SM}$ .

$tanA=tan( \theta + \phi )= \dfrac{tan \theta +tan \phi }{1-tan \theta tan \phi }=... \dfrac{3}{2}= \dfrac{EC}{EA}= \dfrac{3x}{AE} \Rightarrow AE=2x$

$tanA= \dfrac{3}{2}= \dfrac{BD}{AD}= \dfrac{9y}{AD} \Rightarrow AD=6y$

Αν (ABC)=X

θα είναι $\dfrac{(AED)}{X}= \dfrac{2x.6y}{3x.13y} \Rightarrow (AED) = \dfrac{12X}{39}$

$(EBM)= \dfrac{1}{3}(ABM) = \dfrac{1}{3} \dfrac{X}{2}= \dfrac{X}{6}$ και όμοια βρίσκουμε $(DMC)= \dfrac{7X}{26}$

Επομένως $(EDM)=X- \dfrac{12X}{39} - \dfrac{X}{6} - \dfrac{7X}{26}= \dfrac{10X}{39} )$

$\dfrac{AS}{SM}= \dfrac{(ADE)}{DEM}= \dfrac{ \dfrac{12}{39} }{ \dfrac{10}{39} }= \dfrac{6}{5}$

: Επίλογος.png (26.68 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2024 6:16 pm
Η είναι διάμεσος ενώ τα , ύψη. Αξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος, υπολογίστε το λόγο: $\dfrac{AS}{SM}$ .

: shape.png (36.61 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2024 6:16 pm
Επίλογος.pngΗ είναι διάμεσος ενώ τα , ύψη . Αξιοποιώντας

τα δεδομένα του σχήματος , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SM}$ .

Αλλιώς

$tanA=tan( \theta + \phi )= \dfrac{tan \theta +tan \phi }{1-tan \theta tan \phi }=... \dfrac{3}{2}= \dfrac{EC}{EA}= \dfrac{3x}{AE} \Rightarrow AE=2x$

$tanA= \dfrac{3}{2}= \dfrac{BD}{AD}= \dfrac{9y}{AD} \Rightarrow AD=6y$

Με $BK,CL//AM \Rightarrow \dfrac{BK}{AS}= \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}$ και $\dfrac{CL}{AS}= \dfrac{7y}{6y} = \dfrac{7}{6}$

Άρα $\dfrac{CL+BK}{AS}= \dfrac{5}{3} \Rightarrow \dfrac{2SM}{AS}= \dfrac{5}{3} \Rightarrow \dfrac{AS}{SM} = \dfrac{6}{5}$

: Επίλογος.png (29.11 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές

Επίλογος

Επίλογος

Re: Επίλογος

Re: Επίλογος

Re: Επίλογος

Re: Επίλογος

Μέλη σε σύνδεση