Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών

[mick7]

Κώστα νομίζω το παρακάτω απαντάει στο ερώτημα σου.

https://projecteuclid.org/journals/bull ... 93098.full

Αιτιολόγηση;

[stranger]

Κώστα νομίζω το παρακάτω απαντάει στο ερώτημα σου.

https://projecteuclid.org/journals/bull ... 93098.full

Αιτιολόγηση;

Ναι πράγματι απαντάει.
Ας σκεφτούμε την περίπτωση που θέλουμε να δούμε τι συμβαίνει σε ακεραίους με αρκετά μεγάλη απόλυτη τιμή.
Δηλαδή εννοώ τι συμβαίνει αν αποκλείσουμε πεπερασμένα το πλήθος αντιπαραδείγματα;

[stranger]

8) Απορρίψετε η αποδείξτε τον ακόλουθο ισχυρισμό.
Κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα τριών ρητών κύβων.

[abfx]

Ας σκεφτούμε την περίπτωση που θέλουμε να δούμε τι συμβαίνει σε ακεραίους με αρκετά μεγάλη απόλυτη τιμή.
Δηλαδή εννοώ τι συμβαίνει αν αποκλείσουμε πεπερασμένα το πλήθος αντιπαραδείγματα;

Έστω ότι , για κάποιο . Δείχνουμε ότι ο δεν γράφεται ως άθροισμα ή διαφορά δύο τέλειων τετραγώνων.

Πράγματι, έχουμε και άρα:

και .

Είναι δηλαδή .

Αν λοιπόν έχουμε , για παίρνουμε άτοπο από πάνω.

Άρα, υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλα αντιπαραδείγματα (της μορφής ).

[stranger]

8) Απορρίψετε η αποδείξτε τον ακόλουθο ισχυρισμό.
Κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα τριών ρητών κύβων.

[Mihalis_Lambrou]

8) Απορρίψετε η αποδείξτε τον ακόλουθο ισχυρισμό.
Κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως άθροισμα τριών ρητών κύβων.

Δεν έγραψα λύση όταν προτάθηκε η άσκηση γιατί γνώριζα ένα επώνυμο θεώρημα που απαντά στο ερώτημα. Τώρα που πέρασε εύλογο διάστημα καταγράφω τα σχετικά στοιχεία.

Η απάντηση στο ερώτημα είναι καταφατική. Ονομάζεται Θεώρημα Ryley και δημοσιεύτηκε το 1825 στο Ladies Diary, τόμος 122, σελίς 35.

Αποδεικνύεται (ελπίζω να έχω αντιγράψει απόλυτα σωστά τις ταυτότητες) ότι για κάθε ρητό ισχύει o τύπος



όπου

Άλλη αναπαράσταση είναι η



Tου τύπου του Ryley υπάρχει γενίκευση από τον Richmond, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Volume 2 , Issue 2 , June 1930 , pp. 92 - 100

Στο Wolfram Alpha εδώ υπάρχει επαλήθευση με υπολογιστή του αμέσως παραπάνω τύπου που επιλύει το πρόβλημα που συζητάμε εδώ, για την ειδική περίπτωση .

Θα ήθελα να ρωτήσω τον θεματοθέτη stranger (Κωνσταντίνο) αν ανέμενε να ανακαλύψουμε τους παραπάνω τύπους ή μήπως έχει κάτι ευκολότερο. Ο ίδιος πάντως για να τους ανακάλυπτα, αν ποτέ κατάφερνα να τους ανακαλύψω, θα ήθελα πολλών ημερών εργασία και άπειρο χαρτί.

[sov_arvyd]

Πολύ ωραία!
5) Έστω ένα πολυώνυμο βαθμού με ακέραιους συντελεστές.
Δείξτε ότι για κάθε , υπάρχουν το πολύ ακέραιοι ώστε , όπου στην παράσταση , συνθέτουμε την , φορές.

Το ζητούμενο δεν ικανοποιείται για . Μήπως χρειάζεται κάτι ακόμα η εκφώνηση;

[mick7]

9) Δείξτε ότι υπάρχει πρώτος αριθμός ώστε οι να είναι σύνθετοι.

[ksofsa]

Για την (9):

Από το θεώρημα του Dirichlet υπάρχει πρώτος της μορφής . Για τον πρώτο αριθμό , είναι άμεσο ότι οι αριθμοί είναι σύνθετοι.

[mick7]

To πρόβλημα το πήρα απο αυτήν την διάλεξη (γύρω στο 40ο λεπτό)

viewtopic.php?f=43&t=75222&p=367854#p367854

Για την (9):

Από το θεώρημα του Dirichlet υπάρχει πρώτος της μορφής . Για τον πρώτο αριθμό , είναι άμεσο ότι οι αριθμοί είναι σύνθετοι.

[stranger]

Πολύ ωραία!
5) Έστω ένα πολυώνυμο βαθμού με ακέραιους συντελεστές.
Δείξτε ότι για κάθε , υπάρχουν το πολύ ακέραιοι ώστε , όπου στην παράσταση , συνθέτουμε την , φορές.

Το ζητούμενο δεν ικανοποιείται για . Μήπως χρειάζεται κάτι ακόμα η εκφώνηση;

Τώρα το είδα το μήνυμα. Είχα να μπω καιρό. Ναι είναι .

[stranger]

Μια που μου αρέσει πολύ.
10)
Έστω φυσικοί αριθμοί σχετικά πρώτοι και έστω ένας φυσικός αριθμός.
Δείξτε ότι η αριθμητική πρόοδος περιέχει άπειρους αριθμούς σχετικά πρώτους με το .

[Mihalis_Lambrou]

10)
Έστω φυσικοί αριθμοί σχετικά πρώτοι και έστω ένας φυσικός αριθμός.
Δείξτε ότι η αριθμητική πρόοδος περιέχει άπειρους αριθμούς σχετικά πρώτους με το .

Με βαρύ πυροβολικό είναι άμεσο: Από το Θεώρημα Diriclet (βλέπε εδώ η ακολουθία περιέχει άπειρους το πλήθος πρώτους. Όσοι από αυτούς (άπειροι) είναι μεγαλύτεροι του , κάνουν την δουλειά.

Κωνσταντίνε, σου κάνει αυτό; Νομίζω πάντως ότι έχω και στοιχειώδη λύση της άσκησης που θέτεις. Αν θεωρείς το παραπάνω ως "βαρυοπούλα για να σπάσουμε ρολόι", θα το ξαναδώ.

[stranger]

10)
Έστω φυσικοί αριθμοί σχετικά πρώτοι και έστω ένας φυσικός αριθμός.
Δείξτε ότι η αριθμητική πρόοδος περιέχει άπειρους αριθμούς σχετικά πρώτους με το .

Με βαρύ πυροβολικό είναι άμεσο: Από το Θεώρημα Diriclet (βλέπε εδώ η ακολουθία περιέχει άπειρους το πλήθος πρώτους. Όσοι από αυτούς (άπειροι) είναι μεγαλύτεροι του , κάνουν την δουλειά.

Κωνσταντίνε, σου κάνει αυτό; Νομίζω πάντως ότι έχω και στοιχειώδη λύση της άσκησης που θέτεις. Αν θεωρείς το παραπάνω ως "βαρυοπούλα για να σπάσουμε ρολόι", θα το ξαναδώ.

Μιχάλη από το θεώρημα του Dirichlet είναι άμεσο. Εννοώ με στοιχειώδη μέσα.

[Mihalis_Lambrou]

Εννοώ με στοιχειώδη μέσα.

Ωραία. Θα γράψω αργότερα μία απλή και στοιχειώδη λύση, κατανοητή σε μαθητές.

[stranger]

Μια λίγο δύσκολη.
11)
Να λυθεί η διοφαντική εξίσωση

[Orestisss]

12) Έστω θετικοί ακεραιοι. Να δείξετε ότι ο αριθμός
είναι ακέραιος μόνο για πεπερασμένο πλήθος φυσικών αριθμών .

[mick7]

Δειτε εδώ σχετικά ===> https://math.stackexchange.com/question ... ect=1&lq=1

12) Έστω θετικοί ακεραιοι. Να δείξετε ότι ο αριθμός
είναι ακέραιος μόνο για πεπερασμένο πλήθος φυσικών αριθμών .