3-2-1-ANT1

Ιστοσελίδα · #1

: 321.png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 1256 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς BC = x.

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

S.E.Louridas · #2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am 321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Καλημέρα καλημέρα στον φίλο Μιχάλη και την πανέμορφη Σαλαμίνα, ειδικά τώρα το καλοκαιράκι.
Μία άποψη για την άσκηση με βάση τον λόγο των εμβαδών τριγώνων ίδιας γωνίας.

$\displaystyle{\frac{{xCD}}{{CM \cdot CA}} = \frac{1}{3},\;\frac{{xCM}}{{CD \cdot CA}} = \frac{3}{5}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( \cdot \right)} \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 36}} = \frac{1}{5} \Rightarrow x = 3.}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am 321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Κατασκευάζοντας το παραλ/μμο ACBZ

έχουμε $\dfrac{BE}{y}= \dfrac{1}{5} \Rightarrow BE= \dfrac{y}{5}$

Λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών ,η BC=x

εφάπτεται του κύκλου (Z,E,C)

.Επομένως

$x^2=BE.BZ=\dfrac{y^2}{5}= \dfrac{x^2+36}{5} \Rightarrow x=3$

: 3-2-1...png (26.96 KiB) Προβλήθηκε 1185 φορές

#4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am 321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Αν $ME\bot AC,$ τότε από την ομοιότητα των τριγώνων AME, ABC

και

έχω:

: 3-2-1 ΑΝΤ1.png (8.92 KiB) Προβλήθηκε 1137 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{ME}}{x} = \frac{3}{{\sqrt {{x^2} + 36} }} \hfill \\ \frac{{ME}}{1} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{9}{{{x^2} + 36}} = \frac{{{x^2} + 9}}{{{x^4} + {x^2}}} \Leftrightarrow 2{x^4} - 9{x^2} - 81 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=3}$

#5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am 321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Θέτω :

και ισχύει , ${b^2} = {x^2} + 36\,\,\,\,\left( 1 \right)$ ( Π. Θ.). Από το Θ. Steiner

και λόγω της $\left( 1 \right)$ , έχω :

: 1_2_3_ANT1_Steiner.png (10.28 KiB) Προβλήθηκε 1126 φορές

$\boxed{\frac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}} = \frac{{DB}}{{DA}} \cdot \frac{{MB}}{{MA}} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 36}} = \frac{1}{5} \Rightarrow x = 3}$

#6

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am 321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου

και την εφαπτομένη του, στο άκρο

που τέμνει την ευθεία

στο

.

Θέτω , $BE = k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE = a$ . Επειδή , $\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {A_{}^{}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {\phi _{}^{}} = \widehat {{\rm A}_{}^{}} + \widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {\omega _{}^{}} + \widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {ECD}$ , η

θα εφάπτεται και του κύκλου , $\left( {D,M,C} \right)$ .

: 1_2_3_ANT1_new.png (23.29 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές

Έτσι ταυτόχρονα : $\left\{ \begin{gathered} E{C^2} = EB \cdot EA = ED \cdot EM \hfill \\ B{C^2} = BA \cdot BE \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} k\left( {k + 6} \right) = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 3} \right) \hfill \\ {x^2} = 6k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} k = \frac{3}{2} \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

#7

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am 321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Εκτός φακέλου.

Φέρνω $DF\bot CA$ και από τα όμοια τρίγωνα ADF, ABC

είναι $\displaystyle DF = \frac{{5x}}{{CA}}.$

: 3-2-1ΑΝΤ1.png (8.98 KiB) Προβλήθηκε 1042 φορές

Η

είναι η

συμμετροδιάμεσος του ABC

άρα $\displaystyle \frac{{DF}}{{DB}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Leftrightarrow 5{x^2} = C{A^2} \Leftrightarrow 5{x^2} = {x^2} + 36 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=3}$

#8

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Από τα ορθογώνια τρίγωνα ABC, MBC, DBC

, με αυτή την σειρά, έχουμε

$\dfrac {6}{x} =\tan (\omega + \theta + \omega)= \dfrac {\tan (\omega + \theta)+\tan (\omega )}{1-\tan (\omega + \theta)\tan (\omega )}=\dfrac {\dfrac {3}{x}+ \dfrac {1}{x} }{1-\dfrac {3}{x}\cdot \dfrac {1}{x}} =\dfrac {4x}{x^2-3}$ .

Άρα x=3

.

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Αύγ 05, 2024 9:09 am
Μιχάλης Νάννος έγραψε: Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!
Από τα ορθογώνια τρίγωνα , με αυτή την σειρά, έχουμε

$\dfrac {6}{x} =\tan (\omega + \theta + \omega)= \dfrac {\tan (\omega + \theta)+\tan (\omega )}{1-\tan (\omega + \theta)\tan (\omega )}=\dfrac {\dfrac {3}{x}+ \dfrac {1}{x} }{1-\dfrac {3}{x}\cdot \dfrac {1}{x}} =\dfrac {4x}{x^2-3}$ .

Άρα .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #10

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Σάβ Αύγ 03, 2024 8:56 am 321.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου!

Η κάθετη στην

στο

τέμνει τις CM,CD

στα

αντίστοιχα

$\triangle APC \simeq \triangle DBC \Rightarrow AP= \dfrac{y}{x}$ και $\triangle AQC \simeq \triangle MBC \Rightarrow \dfrac{y}{x}= \dfrac{AQ}{3}$ άρα AQ=3AP

Το τετράπλευρο DMPQ

είναι εγγράψιμμο,άρα $AP.AQ=AM.AD \Rightarrow 3AP^2=15 \Rightarrow AP= \sqrt{5}$

Επομένως $\dfrac{y}{x}= \sqrt{5} \Rightarrow y^2=5x^2$ και με Π.Θ στο $\triangle ABC \Rightarrow x=3$

: 3-2-1...png (31.2 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

3-2-1-ANT1

3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Re: 3-2-1-ANT1

Μέλη σε σύνδεση