Ανακαίνιση εκθετικής συνάρτησης με Γ Λυκείου

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Στο πλαίσιο των σχολικών μαθηματικών μπορεί κανείς να αποδείξει την ιδιότητα του ελαχίστου άνω φράγματος των πραγματικών αριθμών.
viewtopic.php?f=61&t=76214

$\bullet$ Λαμβάνοντας υπ' όψιν ενεργά αυτήν την ιδιότητα,
δηλαδή ότι αν το

είναι ένα μη κενό άνω φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών τότε έχει supremum ( $\sup A$ )
το οποίο έχει τις εξής δυο ιδιότητες:

1) $\forall x\in A$ $x\le \sup A$

2) ( $\forall x \in A\ x\le y) \Rightarrow$ $\sup A \le y$

(αντίστοιχα για το infimum $\inf A$ )

$\bullet$ Ξεχνώντας τον ορισμό της εκθετοποίησης για άρρητο

$\bullet$ Παραμένοντας κατά τα άλλα στο πλαίσιο των σχολικών μαθηματικών και συγκεκριμένα μέχρι και τις παραγράφους 1.1,1.2,1.3 του σχολικού βιβλίου των μαθηματικών προσανατολισμού της Γ λυκείου να αντιμετωπιστεί το ακόλουθο:

ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ

Δίνεται $a\in(0,1)\cup(1,+\infty)$ .

#1. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς μια συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με τις ιδιότητες

$\bullet$ $f(\mathbb{R})\subseteq(0,+\infty)$

$\bullet$ f(1)=a

$\bullet$ $\forall x\forall y$ $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$

$\bullet$ a>1

$\Rightarrow f$ γνησίως αύξουσα

$\bullet$ 0<a<1

$\Rightarrow f$ γνησίως φθίνουσα

#2. Θα συμβολίσουμε με f_a

τη συνάρτηση του προηγούμενου ερωτήματος. Αν a>1

να αποδειχθούν οι ιδιότητες:

$\bullet$ $\forall x\in \mathbb{R}$ $f_a(x)=\sup\{f_a(q)|q<x\wedge q\in\mathbb{R}\}$

$\bullet$ $\forall x\in \mathbb{R}$ $f_a(x)=\inf\{f_a(q)|q>x\wedge q\in\mathbb{R}\}$

#3. Ορίζοντας επιπλέον ως $f_1\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τη σταθερή συνάρτηση με τιμή ίση με τη μονάδα, να αποδειχθούν για κάθε $a,b\in(0,+\infty)$ οι ακόλουθες ιδιότητες:

$\bullet$ $f_{a\cdot b}=f_a\cdot f_b$

$\bullet$ $f_{f_a(b)}=f_a\circ (b\cdot f_1)$

#4. Δίνονται x>-1

και $r\ge 0$ .
Να αποδειχθεί η ανισότητα Bernoulli:

$\bullet$ $r\le1 \Rightarrow\ f_{1+x}(r)\le 1+r\cdot x$

$\bullet$ $r\ge1\Rightarrow \ f_{1+x}(r)\ge 1+r\cdot x$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Μετά την κατασκευή της εκθετικής συνάρτησης μπορεί κανείς να προχωρήσει στην απόδειξη του γεγονότος ότι αυτή είναι συνεχής.
viewtopic.php?f=61&t=76235#p368287

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Επίσης μπορεί κανείς να προχωρήσει στην απόδειξη του γεγονότος ότι είναι παραγωγίσιμη για την περίπτωση τουλάχιστον που $a=\displaystyle\sup_{n\in \mathbb{N}^*}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}$ δηλαδή a=e

αποδεικνύοντας στοιχειωδώς, σχεδόν με Β Λυκείου, την ανισότητα $e^x\ge x+1$

viewtopic.php?f=21&t=76219#p368350

Ανακαίνιση εκθετικής συνάρτησης με Γ Λυκείου

Ανακαίνιση εκθετικής συνάρτησης με Γ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση