Ανισότητα με ολοκλήρωμα

kapapi · #1

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [1,3] ώστε $f(x) \ge 2x$ για κάθε $x \in [1,3]$ . Να αποδείξετε ότι $\int_{1}^{3} f(x)dx \ge 8$ .

Ενας μαθητής τη λύνει με τον εξής τρόπο:
Εφόσον f(x) και 2x είναι συνεχείς στο [1,3] και $f(x) \ge 2x$ θα ισχύει
$\int_{1}^{3} f(x)dx \ge \int_{1}^{3} 2xdx \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f(x)dx \ge 8$

ενώ κάποιος άλλος ως εξής:
$f(x) \ge 2x \Leftrightarrow f(x)-2x \ge 0$ και επειδή f(x)-2x

είναι συνεχής στο [1,3] θα ισχύει
$\int_{1}^{3} [f(x)-2x]dx \ge 0 \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f(x)dx - \int_{1}^{3} 2xdx \ge 0 \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f(x)dx - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f(x)dx \ge 8$

Με δεδομένο ότι στο σχολικό βιβλίο υπάρχει η πρόταση:
Αν $f(x) \ge 0$ για κάθε $x \in [\alpha,\beta]$ τότε $\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx \ge 0$

και όχι η πρόταση:
Αν $f(x) \ge g(x)$ για κάθε $x \in [\alpha,\beta]$ τότε $\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx \ge \int_{\alpha}^{\beta} g(x)dx$

θα ήθελα την άποψή σας στο θέμα. Ποια από τις δύο μεθόδους θα προτείνατε στους μαθητές;

Κώστας.

#2

Αν και δεν συνιστά έγκλημα καθοσιώσεως η χωρίς απόδειξη χρηση αυτής της απλούστατης πρότασης (είναι άσκηση στο σχολικό, η τελευταία του βιβλίου) συνιστώ για καθαρά τυπικούς λόγους την δεύτερη αντιμετώπιση. Δηλαδή όπως γράφεις να ενσωματώσουν στην λύση τους την λύση της άσκησης. Το θέμα μας έχει απασχολήσει και άλλοτε. Θα μπορούσαν από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο να δώσουν ένα κατάλογο απλών λημμάτων που μπορούν να χρησιμοποιούνται χωρίς απόδειξη. Δεν το έκαναν ποτέ αν και αρκετοί τους το έχουμε ζητήσει. Οπότε φύλα τα ρούχα σου...
Μαυρογιάννης

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση