3ο & 4ο Θέμα

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλησπέρα σε όλους.

Ένα μικρό νοητό κέρασμα που απαιτεί η σημερινή μέρα είναι τα δυο θέματα που ακολουθούν.

Πρόκειται για δυο ασκήσεις που στηρίζονται σε δυο θέματα που δανείστηκα από βιβλία του Γιώργου Μιχαηλίδη και στα οποία έχω βάλει τις δικές μου πινελιές.

Ας τα δούμε λοιπόν.

Σχόλιο
Διορθώθηκε ένα τυπογραφικό λάθος κατόπιν υπόδειξης των Math Rider και Dimitris X και τους οποίους ευχαριστώ

#2

Χρόνια Πολλά

. Ωραίο και το κέρασμα

Rania · #3

Χρονια πολλα κι απο μενα κυριε Ραικοφτσαλη, αν και καπως καθυστερημενα.

Λογω ελλειψης χρονου δεν προλαβαινω να γραψω αναλυτικα ο,τι σκεφτομαι. Θα γραψω μια περιληψη των ιδεων μου.

Θεμα 3ο.

Α.
1)Η συναρτηση ειναι παραγωγισιμη ως αθροισμα παραγωγισιμων, και $g'(x)=e^{x}+3x^{2}$ , που ειναι θετικο για καθε πραγματικη τιμη του χ.
Αρα η g ειναι γνησιως αυξουσα, επομενως 1-1 αρα και αντιστρεψιμη.

2)Το πεδιο ορισμου της αντιστροφης ειναι το συνολο τιμων της g. Αρα παιρνουμε τα ορια σε -απειρο και +απειρο.

3)g(0)=1 αρα $g^{-1}(g(0))=g^{-1}(1)$ αρα $g^{-1}(1)=0.$
Αποδεικνυω οτι και η αντιστροφη ειναι γνησιως μονοτονη(ειτε με ατοπο θεωρωντας οτι για x1<x2 ισχυει $g^{-1}(x1)>=g{-1}(x2)$ , ή με αντικατασταση το $g(g^{-1}(x))=x$ για χ1<χ2). Αρα μοναδικη ριζα της αντιστροφης εχουμε για χ=1.

4)Μπορουμε να βρουμε τα κοινα σημεια των συναρτησεων λυνοντας την g(x)=x, εκμεταλλευομενοι το γεγονος οτι η ψ=χ ειναι ο αξονας συμμετριας τους. Θεωρουμε μια νεα συναρτηση h(x)=g(x)-x, και αποδεικνυουμε οτι εχει μοναδικη ριζα στο R.

Β.
1)παρατηρω οτι g(f(x))>=x. Κανω την αντικατασταση $g(g^{-1}(x))=x$ στην ανισοτητα, "βγαζω" την g και η φορα της ανισοτητας μενει ως εχει αφου ειναι γνησιως αυξουσα, επομενως μενει το ζητουμενο.

2)Δεν μου ερχεται κατι αμεσα, και οπως ειπα και πριν λογω ελλειψης χρονου δεν μπορω να πιασω χαρτι και μολυβι για να τσεκαρω καποια πιθανη λυση.

Μολις βρω χρονο θα γραψω αναλυτικα το 4ο και το ερωτημα που αφησα.

Dimitris X · #4

Rania έγραψε:
2)Δεν μου ερχεται κατι αμεσα, και οπως ειπα και πριν λογω ελλειψης χρονου δεν μπορω να πιασω χαρτι και μολυβι για να τσεκαρω καποια πιθανη λυση.

Eίναι ισοδύνα μο με το $\int _{0}^{1} {u g{'}(u) du}$

Ιστοσελίδα · #5

Χρόνια πολλά Θωμά!
Να σε χαίρονται τα παιδιά σου...

Math Rider · #6

Κύριε Θωμά νομίζω οτι στο ερώτημα iv του Θέματος 4 έχει γίνει τυπογραφικό λάθος.
Το σωστό είναι $\displaystyle{ 2009(e^{2\xi } + 1) = 2010(e^{2\xi } - 1)}$ ή ενναλακτικά $\displaystyle{ 2010(e^{2\xi } - 1) = 2009(e^{2\xi } + 1) }$
Με αυτή την υπόδειξη το αφήνω για τους μαθητές και θα δώσω αργότερα την δική μου λύση
στο ωραίο αυτό θέμα.
Φυσικά, αν και καθυστερημένα, σας εύχομαι Χρόνια Πολλά και και με υγεία!

Dimitris X · #7

Math Rider έγραψε:Κύριε Θωμά νομίζω οτι στο ερώτημα iv του Θέματος 4 έχει γίνει τυπογραφικό λάθος.
Το σωστό είναι $\displaystyle{ 2009(e^{2\xi } + 1) = 2010(e^{2\xi } - 1)}$ ή ενναλακτικά $\displaystyle{ 2010(e^{2\xi } - 1) = 2009(e^{2\xi } + 1) }$
Με αυτή την υπόδειξη το αφήνω για τους μαθητές και θα δώσω αργότερα την δική μου λύση
στο ωραίο αυτό θέμα.
Φυσικά, αν και καθυστερημένα, σας εύχομαι Χρόνια Πολλά και και με υγεία!

Ακριβώς.
Γιατί το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το (-1,1)

.....

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #8

Φίλοι,
Math Rider και Dimitris X
έχετε απόλυτο δίκιο και οι δυο,
και έγινε η διόρθωση.
Ευχαριστώ
Θ.Ρ

paylos · #9

Στο συνημμένο δίνω μια πλήρη απάντηση στο πολύ καλό 4ο Θέμα του Θωμά.

Math Rider · #10

Δίνω και την δική μου λύση, μιας και την πληκτρολόγησα.
Διαφοροποιείται στα ερωτήματα iii. και iv. από αυτήν του paylos.
Όσον αφορά το ολοκλήρωμα το αποτέλεσμα είναι ίδιο!

Math Rider · #11

Ένας πιο κομψός τρόπος υπολογισμού του ολοκλήρωματος στο 4ο Θέμα:
$\displaystyle{ \int\limits_0^2 {\left( {x - xf^2 (x)} \right)dx = } \int\limits_0^2 {x\left( {1 - f^2 (x)} \right)dx = } \int\limits_0^2 {xf'(x)dx = } \int\limits_0^2 {x\left( {f(x)} \right)^\prime dx = \left[ {xf(x)} \right]_0^2 } - \int\limits_0^2 {(x)'f(x)dx = } }$

$\displaystyle{ 2f(2) - 0 - \int\limits_0^2 {f(x)dx = } 2f(2) - \int\limits_0^2 {\frac{{e^x - e^{ - x} }}{{e^x + e^{ - x} }}dx = } 2f(2) - \int\limits_0^2 {\frac{{\left( {e^x + e^{ - x} } \right)^\prime }}{{e^x + e^{ - x} }}dx = } }$

$\displaystyle{ 2f(2) - \left[ {\ln \left( {e^x + e^{ - x} } \right)} \right]_0^2 = 2\frac{{e^4 - 1}}{{e^4 + 1}} - \left[ {\ln \left( {\frac{{e^4 + 1}}{{e^2 }}} \right) - \ln 2} \right] = 2\frac{{e^4 - 1}}{{e^4 + 1}} - \ln \left( {\frac{{e^4 + 1}}{{2e^2 }}} \right) }$ .

3ο & 4ο Θέμα

3ο & 4ο Θέμα

Re: 3ο & 4ο Θέμα

Re: 3ο & 4ο Θέμα

Re: 3ο & 4ο Θέμα

Re: 3ο & 4ο Θέμα

Re: 3ο & 4ο Θέμα

Re: 3ο & 4ο Θέμα

Re: 3ο & 4ο Θέμα

Re: 3ο & 4ο Θέμα

Re: 3ο & 4ο Θέμα

Re: 3ο & 4ο Θέμα

Μέλη σε σύνδεση