Η μικρότερη διαφορά

#1

Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή της παράστασης |11^m-5^n|

, όπου

μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί;

#2

Μήπως είναι "βαρύς" ο φάκελος;

Al.Koutsouridis · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Σεπ 07, 2024 8:36 am Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή της παράστασης , όπου μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί;

To

λήγει πάντα σε

στην δεκαδική του αναπαράσταση και το 5^n

λήγει πάντα σε

στην δεκαδική του αναπαράσταση. Άρα η ελάχιστη δυνατή τιμή που θα μπορούσε να έχει η απόλυτη τιμή της διαφοράς τους είναι

. Πράγματι αυτή η τιμή επιτυγχάνεται για |11^2-5^3| = 4

.

#4

rek2 έγραψε: Σάβ Σεπ 07, 2024 11:53 am Μήπως είναι "βαρύς" ο φάκελος;

Κώστα, προορίζω την άσκηση για μαθητές Γυμνασίου σε επίπεδο Θαλή.

Το κριτήριο για τις ασκήσεις που αναρτώ τώρα τελευταία εδώ (και παράλληλα, για το Δημοτικό) είναι α) να είναι προσιτές σε πρωτάρηδες, β) να έχουν κάποιο στοιχείο που οι εν λόγω μαθητές δεν έχουν ξαναδεί (δηλαδή αποφεύγουμε ασκήσεις ρουτίνας του Σχολικού).

Ο απώτερός μου στόχος είναι να καταγράψω μια σειρά ασκήσεων που έλκουν τον μαθητή στα Μαθηματικά και, δεύτερον, να έχει ο κάθε Δάσκαλος μία γκάμα ασκήσεων να δίνει στους μαθητές του.

Κυκλοφορούν πολλά ωραιότατα βιβλία με θέματα Ολυμπιάδων αλλά τα βρίσκω, εν γένει, πέρα από τις δυνάμεις των πρωτάρηδων. Ήθελα μία σειρά ασκήσεων στο ενδιάμεσο.

Nikitas K. · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Σεπ 07, 2024 12:10 pm To λήγει πάντα σε στην δεκαδική του αναπαράσταση και το λήγει πάντα σε στην δεκαδική του αναπαράσταση. Άρα η ελάχιστη δυνατή τιμή που θα μπορούσε να έχει η απόλυτη τιμή της διαφοράς τους είναι . Πράγματι αυτή η τιμή επιτυγχάνεται για .

Συμπληρώνω τα διαδικαστικά...

Ισχύει $11 \mod 10 = 1$

Επίσης, υποθέτοντας τυχαίο $k\in\mathbb{N^*} ~ 11^k \mod 10 = 1$ , τότε

$\displaystyle \exists p\in\mathbb{N^*}~ 11^{k+1} = 11 \cdot 11^k = 11(10p + 1) = 10(11p + 1) + 1\Rightarrow 11^{k+1}\mod 10 = 1$

Ισοδύναμα $\forall m\in\mathbb{N^*} ~ 11^m \mod 10 = 1$ , ομοίως αποδεικνύεται ότι $\forall n \in\mathbb{N^*}~ 5^n \mod 10 = 5$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έστω, ότι $\displaystyle \exists x\in\mathbb{Z}~ |5x - 2| < 2 \Leftrightarrow -2 < 5x-2 < 2 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{4}{5}$ , άτοπο.

Άρα $\forall x \in \mathbb{Z}~ |5x - 2| \geq 2$ με την ισότητα να επιτυγχάνεται για x = 0

Πράγματι,

$\displaystyle \exists a\in\mathbb{N^*}\exists b\in\mathbb{N}~|11^m - 5 ^n| = |10a + 1 - (10b + 5)| = 2 |5(a-b)-2|\geq 4$ όπου η ισότητα ισχύει για m = 2

και

Επομένως, η μικρότερη δυνατή τιμή της παράστασης |11^m - 5^n|

είναι

#6

Nikitas K. έγραψε: Κυρ Σεπ 08, 2024 2:32 am
Συμπληρώνω τα διαδικαστικά...

Νομίζω ότι η γραφή που υιοθετείς είναι ακριβώς η γραφή που πρέπει να αποφεύγουμε. Κάνεις τα πανεύκολα, δύσκολα. Για παράδειγμα:

α) Κάνεις ολόκληρη ιστορία, με μόντουλα και λοιπά, για να δείξεις ότι το τελευταίο ψηφίο ενός πολλαπλασιασμού της μορφής $11\times 11\times 11 \times \, ... \, \times 11$ είναι το

.

β) Κάνεις ολόκληρη ιστορία, με μόντουλα και λοιπά, για να δείξεις ότι το τελευταίο ψηφίο ενός πολλαπλασιασμού της μορφής $5\times 5\times 5 \times \, ... \, \times 5$ είναι το

.

Όμως ρώτα ένα παιδί του Δημοτικού και θα σου χωρίς καμία δυσκολία τα εν λόγω τελευταία ψηφία. Το να κάνουμε τα απλούστα Μαθηματικά να φαίνονται περίπλοκα είναι αδόκιμη πρακτική.

Στα Μαθηματικά πρέπει να ακολουθούμε τον κανόνα της κομψής γραφής και να επικεντρωνόμαστε στα ουσιώδη. Αλλιώς χάνεται αυτό που θέλουμε να μεταδώσουμε. Αν, για παράδειγμα, κάποιος στην διδασκαλία του ακολουθούσε τον παραπάνω τρόπο γαφής, είμαι βέβαιος ότι θα έχανε όλους τους ακροατές του.

Θα σου συνιστούσα ισχυρά να βελτιώσεις τον τρόπο γραφής σου. Παρακαλώ πάρε τα παραπάνω ως καλόπιστη συμβουλή ενός πιο έμπειρου δασκάλου, με 46 χρόνια στον μαυροπίνακα. Θα σε οφελήσουν.

Nikitas K. · #7

κ. Λάμπρου σας ευχαριστώ για την συμβουλή σας, με έβαλε σε σκέψεις... Αναδιατυπώνω την απόδειξη του α) και β) πιο απλά.

Πράγματι $\forall n\in\mathbb{N^*}~5^n$ είναι περιττός ως γινόμενο περιττών και 5 | 5^n

άρα ο

αναγκαστικά λήγει σε

από το κριτήριο διαιρετότητας. Ενώ $\forall m\in\mathbb{N^*}\displaystyle ~ 11^m = 1 + 10\sum_{i=0}^{m-1}11^i$ λήγει σε

#8

Nikitas K. έγραψε: Δευ Σεπ 09, 2024 5:20 am κ. Λάμπρου σας ευχαριστώ για την συμβουλή σας, με έβαλε σε σκέψεις... Αναδιατυπώνω την απόδειξη του α) και β) πιο απλά.

Πράγματι $\forall n\in\mathbb{N^*}~5^n$ είναι περιττός ως γινόμενο περιττών και άρα ο αναγκαστικά λήγει σε από το κριτήριο διαιρετότητας. Ενώ $\forall m\in\mathbb{N^*}\displaystyle ~ 11^m = 1 + 10\sum_{i=0}^{m-1}11^i$ λήγει σε

Πάλι χάνεις την ουσία, κάνοντας πολύπλοκα τα τετριμμένα. Θα επαναλάβω αυτό που έγραψα νωρίτερα:

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Σεπ 08, 2024 9:55 am
Όμως ρώτα ένα παιδί του Δημοτικού και θα σου χωρίς καμία δυσκολία τα εν λόγω τελευταία ψηφία.

Με λίγα λόγια, θα σου πει ένας οποισδήποτε μαθητής, ότι είναι αυτονόητο ότι αν πολλαπλασιάσεις άσους, $1\times 1 \times \,... \times 1$ , το αποτέλεσμα είναι

. To λοιπόν, αν πολλαπλασιάσεις οποιουσδήποτε αριθμούς που λήγουν σε

τότε το ψηφίο των μονάδων (το οποίο προκύπτει από γινόμενο αριθμών της μορφής $1\times 1 \times \,... \times 1$ ) είναι

. ΤΟΣΟ ΑΠΛΑ.

Όμοια, οποιοδήποτε γινόμενο από 5-ρια, λήγει σε

. ΤΟΣΟ ΑΠΛΑ.

Η μικρότερη διαφορά

Η μικρότερη διαφορά

Re: Η μικρότερη διαφορά

Re: Η μικρότερη διαφορά

Re: Η μικρότερη διαφορά

Re: Η μικρότερη διαφορά

Re: Η μικρότερη διαφορά

Re: Η μικρότερη διαφορά

Re: Η μικρότερη διαφορά

Μέλη σε σύνδεση