Παράγωγο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Παράγωγο εμβαδόν.png (14.19 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Τα ορθογώνια τρίγωνα ABC

και

έχουν κοινή και σταθερή την κάθετη πλευρά AB=d

και σταθερό άθροισμα των κάθετων πλευρών AC+BD=s

. Τα ύψη προς τις υποτείνουσες ,

τέμνονται στο σημείο

. Υπολογίστε το (SAB)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 1:31 am
Παράγωγο εμβαδόν.pngΤα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν κοινή και σταθερή την κάθετη πλευρά

και σταθερό άθροισμα των κάθετων πλευρών . Τα ύψη προς τις υποτείνουσες ,

τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε το .

: Παράγωγο εμβαδόν.png (15.77 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 1:31 am
Παράγωγο εμβαδόν.pngΤα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν κοινή και σταθερή την κάθετη πλευρά

και σταθερό άθροισμα των κάθετων πλευρών . Τα ύψη προς τις υποτείνουσες ,

τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε το .

Φέρνουμε το ύψος h=SE

του τριγώνου SAB

και έστω το

χωρίζει την βάση σε δύο τμήματα d_1,d_2

. Επειδή οι γωνίες $\angle SAB$ και

είναι ίσες (κάθετες πλευρές) έχουμε

$h=d_1\tan A = d_1\tan C= d_1\dfrac {d}{x}$ , οπότε xh=d_1d

.

Όμοια yh=d_2d

. Προσθέτουμε τις δύο κατά μέλη, οπότε (x+y)h=(d_1+d_2)d=d^2

.

To ζητούμενο εμβαδόν είναι $(SAB) = \dfrac {1}{2}dh =\dfrac {1}{2}d \cdot \dfrac{d^2}{x+y} = \dfrac {d^3}{2s}$

Edit. Mε πρόλαβε ο Γιώργος όσο έγραφα. Το αφήνω για το σχήμα.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 1:31 am
Παράγωγο εμβαδόν.pngΤα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν κοινή και σταθερή την κάθετη πλευρά

και σταθερό άθροισμα των κάθετων πλευρών . Τα ύψη προς τις υποτείνουσες ,

τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε το .

Δεν σε πρόλαβα Μιχάλη, γιατί εσύ έγραψες τη λύση, ενώ εγώ έδωσα μόνο την απάντηση. Έτσι κι αλλιώς έχουμε διαφορετικές λύσεις.

Προεκτείνω τη

κατά τμήμα AE=y,

οπότε $(BEC)=\dfrac{ds}{2}.$ Αλλά οι πράσινες γωνίες είναι

προφανώς ίσες, όπως και οι κόκκινες. Άρα τε τρίγωνα SAB, BEC

είναι όμοια.

: Παράγωγο εμβαδόν.png (15.77 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές

$\displaystyle \frac{{(SAB)}}{{(BEC)}} = \frac{{{d^2}}}{{{s^2}}} \Leftrightarrow \frac{{2(SAB)}}{{ds}} = \frac{{{d^2}}}{{{s^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{(SAB) = \frac{{{d^3}}}{{2s}}}$

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 1:31 am
Παράγωγο εμβαδόν.pngΤα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν κοινή και σταθερή την κάθετη πλευρά

και σταθερό άθροισμα των κάθετων πλευρών . Τα ύψη προς τις υποτείνουσες ,

τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε το .

Προφανώς το σημείο N είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABS.Απο μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο $ACB,PB=\dfrac{d^{2}}{\sqrt{d^{2}+x^{2}}}$

Εφόσον NL//AC//BD, $\dfrac{NL}{x}=\dfrac{BL}{d},\dfrac{NL}{y}=\dfrac{AL}{d}\Rightarrow AL=\dfrac{xd}{s}$

Απο το εγγραψιμο τετράπλευρο APNL,AS=AL

. $\dfrac{x^{2}+d^{2}}{x},(*),AS=\dfrac{d}{s}\sqrt{x^{2}+d^{2}},(ASB) =\dfrac{1}{2}(AS)(SB)\Rightarrow (ASB)=\dfrac{d^{3}}{2s}$

Παράγωγο εμβαδόν

Παράγωγο εμβαδόν

Re: Παράγωγο εμβαδόν

Re: Παράγωγο εμβαδόν

Re: Παράγωγο εμβαδόν

Re: Παράγωγο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση