Αλγεβρική γεωμετρική πρόοδος

KARKAR · #1

Βρείτε ζεύγη αριθμών : x , y

, με :

, για τους οποίους η ( θετική ) ημιδιαφορά τους ,

το άθροισμά τους και το γινόμενό τους , είναι - μ' αυτή τη σειρά - διαδοχικοί όροι γεωμετρικής

προόδου . Βρείτε και ένα - το μοναδικό ; - ζεύγος ακεραίων , που ικανοποιεί το παραπάνω .

abgd · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 18, 2024 7:50 pm
Βρείτε ζεύγη αριθμών : , με : , για τους οποίους η ( θετική ) ημιδιαφορά τους ,

το άθροισμά τους και το γινόμενό τους , είναι - μ' αυτή τη σειρά - διαδοχικοί όροι γεωμετρικής

προόδου . Βρείτε και ένα - το μοναδικό ; - ζεύγος ακεραίων , που ικανοποιεί το παραπάνω .

Θα πρέπει

$\displaystyle{2(x+y)^2=xy(x-y) \Leftrightarrow 2(x-y)^2+8xy=xy(x-y)\Leftrightarrow xy=\frac{2(x-y)^2}{x-y-8}}$

Αν $\displaystyle{x-y=k}$ θα πρέπει $\displaystyle{k>8}$ και έτσι έχουμε:

$\displaystyle{x-y=k}$

και
$\displaystyle{xy=\frac{2k^2}{k-8}}$

Τα $\displaystyle{x, -y}$ θα είναι ρίζες της εξίσωσης

$\displaystyle{w^2-kw-\frac{2k^2}{k-8}=0, \ \ k>8}$

οπότε

$\displaystyle{(x, y)=\left(\frac{k}{2}\left(\sqrt{1+\frac{8}{k-8}}+1\right), \frac{k}{2}\left(\sqrt{1+\frac{8}{k-8}}-1\right) \right), \ \ k>8}$

Οι ακέραιες τιμές του $\displaystyle{\frac{8}{k-8}}$ είναι

το $\displaystyle{8}$ για $\displaystyle{k=9}$ ,

το $\displaystyle{4}$ για $\displaystyle{k=10}$ ,

το $\displaystyle{2}$ για $\displaystyle{k=12}$ ,

το $\displaystyle{1}$ για $\displaystyle{k=16}$ ,

Έτσι, το μοναδικό ζεύγος των ακεραίων που ικανοποιούν τη συνθήκη είναι το $\displaystyle{(x,y)= (18,9)}$

abgd · #3

Ένα "καλό" ζεύγος αριθμών (x,y)

που ικανοποιούν την συνθήκη είναι το

$\displaystyle{\left(10\varphi, \frac{10}{\varphi}\right)$

όπου $\varphi$ ο λόγος της χρυσής τομής.

KARKAR · #4

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 19, 2024 9:03 pm
$\displaystyle{2(x+y)^2=xy(x-y) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow(x+2)y^2-(x^2-4x)y+2x^2=0$ και επειδή x+2>0

προκύπτει : $y=\dfrac{x^2-4x+x\sqrt{x^2-16x}}{2(x+2)} , x\geq 16$ .

Η λύση : $y=\dfrac{x^2-4x-x\sqrt{x^2-16x}}{2(x+2)}$ , απορρίπτεται ( γιατί ; )

Τα παραπάνω είναι συμπληρώσεις στην υπέροχη λύση του Κώστα και δίνει απευθείας

το ένα μέλος του ζεύγους συναρτήσει του άλλου .

Κώστα πες μας - αν θέλεις - πώς εμπνεύστηκες το τελευταίο ζευγάρι

abgd · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 20, 2024 6:50 pm

Κώστα πες μας - αν θέλεις - πώς εμπνεύστηκες το τελευταίο ζευγάρι

Θανάση καλησπέρα.

Στην διαδικασία εύρεσης του ζεύγους των ακεραίων στον τύπο

$\displaystyle{(x, y)=\left(\frac{k}{2}\left(\sqrt{1+\frac{8}{k-8}}+1\right), \frac{k}{2}\left(\sqrt{1+\frac{8}{k-8}}-1\right) \right), \ \ k>8}$

προκύπτει για k=10

.

Αλγεβρική γεωμετρική πρόοδος

Αλγεβρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Αλγεβρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Αλγεβρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Αλγεβρική γεωμετρική πρόοδος

Re: Αλγεβρική γεωμετρική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση