Αντίλογος

KARKAR · #1

: Αντίλογος.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές

Αν

διχοτόμος του τριγώνου ABC

, με : $\dfrac{c}{b}=\lambda$ , είναι γνωστό ότι και : $\dfrac{BD}{DC}=\lambda$ .

Στην προέκταση της

θεωρώ σημείο

, ώστε :

και στην

σημείο

,

ώστε : CP=AB

. Δείξτε ότι για οποιαδήποτε (επιτρεπτή) τιμή του

, η

διέρχεται

από σταθερό σημείο

της

και υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BT}{TC}$ . ( $0<\lambda<1$ , σταθερό )

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Σεπ 26, 2024 11:52 am Αντίλογος.pngΑν διχοτόμος του τριγώνου , με : $\dfrac{c}{b}=\lambda$ , είναι γνωστό ότι και : $\dfrac{BD}{DC}=\lambda$ .

Στην προέκταση της θεωρώ σημείο , ώστε : και στην σημείο ,

ώστε : . Δείξτε ότι για οποιαδήποτε (επιτρεπτή) τιμή του , η διέρχεται

από σταθερό σημείο της και υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BT}{TC}$ . ( $0<\lambda<1$ , σταθερό )

$\displaystyle \widehat A = 2A\widehat PS \Leftrightarrow D\widehat AC = A\widehat PS \Leftrightarrow AD||ST$ και $\displaystyle CD = \frac{{ab}}{{b + c}} = \frac{{ab}}{{b(\lambda + 1)}} \Leftrightarrow CD = \frac{a}{{\lambda + 1}}$

: Αντίλογος.Κ.png (10.28 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

$\displaystyle \frac{{BD}}{{BT}} = \frac{{BA}}{{BS}} = \frac{{CP}}{{CA}} = \frac{{CT}}{{CD}} \Leftrightarrow BT \cdot CT = BD \cdot CD = \lambda C{D^2} \Leftrightarrow BT \cdot CT = \frac{{\lambda {a^2}}}{{{{(\lambda + 1)}^2}}}$

Επειδή όμως BT+CT=a, BT>CT,

οι

είναι ρίζες της εξίσωσης $\boxed{{x^2} - ax + \frac{{\lambda {a^2}}}{{{{(\lambda + 1)}^2}}} = 0}$

απ' όπου $\displaystyle x = a \pm \frac{{a|\lambda - 1|}}{{\lambda + 1}},0<\lambda<1$ άρα $\displaystyle BT = \frac{{2a}}{{\lambda + 1}},TC = \frac{{2a\lambda }}{{\lambda + 1}}$ και $\boxed{ \frac{{BT}}{{TC}} = \frac{1}{\lambda }}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Σεπ 26, 2024 11:52 am Αντίλογος.pngΑν διχοτόμος του τριγώνου , με : $\dfrac{c}{b}=\lambda$ , είναι γνωστό ότι και : $\dfrac{BD}{DC}=\lambda$ .

Στην προέκταση της θεωρώ σημείο , ώστε : και στην σημείο ,

ώστε : . Δείξτε ότι για οποιαδήποτε (επιτρεπτή) τιμή του , η διέρχεται

από σταθερό σημείο της και υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BT}{TC}$ . ( $0<\lambda<1$ , σταθερό )

Είναι

κι επειδή

διχοτόμος θα είναι AD//ST

κι από θ.διχοτόμου $BD= \dfrac{ \lambda a}{ \lambda +1}$

Επομένως $\dfrac{BD}{DT} = \dfrac{c}{AS}= \dfrac{CP}{AP}= \dfrac{CT}{DT} \Rightarrow BD=CT= \dfrac{ \lambda a}{ \lambda +1}$ άρα

σταθερό σημείο

Eπίσης BT=BD+DT=CT+TD=CD

άρα $\dfrac{BT}{TC} = \dfrac{CD}{BD}= \dfrac{b}{c}= \dfrac{1}{ \lambda }$

: Αντίλογος.png (15.14 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές

Αντίλογος

Αντίλογος

Re: Αντίλογος

Re: Αντίλογος

Μέλη σε σύνδεση